Η χρήση του γεωμετρικού μοντέλου της αριθμητικής γραμμής, για την αναπαράσταση της ισοδυναμίας και πρόσθεσης κλασμάτων: εφαρμογή σε μαθητές πέμπτης δημοτικού

Abstract

Η παρούσα ερευνητική εργασία διερευνά την καταλληλότητα της αριθμητικής γραμμής ως μέσου αναπαράστασης της έννοιας του κλάσματος. Το θέμα αυτό παρουσιάζει αρκετό ερευνητικό ενδιαφέρον, αφού τα αποτελέσματα ερευνητικών εργασιών σχετικά με το ρόλο της αριθμητικής γραμμής στην κατανόηση των κλασμάτων δε συγκλίνουν. Αρχικά, η εργασία αποδεικνύει θεωρητικά ότι η αριθμητική γραμμή αποτελεί γεωμετρικό μοντέλο το οποίο αναπαριστά το σύνολο των ρητών αριθμών και ο σκοπός της είναι να διαπιστώσει αν αποτελεί ένα κατάλληλο και αποτελεσματικό μοντέλο για μαθητές Ε’ Δημοτικού. Η μεθοδολογία αφορούσε στη χορήγηση δοκιμίων, σε συνεντεύξεις και πειράματα επικοινωνίας. Με βάση τα αποτελέσματα της έρευνας φάνηκε ότι οι μαθητές δεν έχουν κατανοήσει πλήρως την έννοια του κλάσματος, αφού η επίδοσή τους ήταν χαμηλή τόσο στην αναγνώριση της έννοιας σε ποικιλία αναπαραστάσεων, όσο και στο χειρισμό της έννοιας στο ίδιο πεδίο και στη μετάφραση από τη μία αναπαράσταση της έννοιας στην άλλη. Επίσης, φάνηκε ότι τα έργα των δοκιμίων στεγανοποιήθηκαν με κριτήριο το είδος αναπαράστασης, το είδος μετάφρασης και το είδος γνωστικού αντικειμένου το οποίο εξέταζαν, κάτι το οποίο ενισχύει την άποψη ότι οι γνώσεις των μαθητών ήταν αποσπασματικές. Αναφορικά με τα είδη μετάφρασης, φάνηκε ότι οι μαθητές δυσκολεύονταν σε κάποια είδη μετάφρασης ιδιαίτερα όταν σε αυτά εμπλέκεται η αριθμητική γραμμή. Η επίδοση των μαθητών διαφοροποιήθηκε στα διαφορετικά είδη έργων, κάτι το οποίο αποτελεί ένδειξη ότι οι μαθητές δεν έχουν συνδέσει την εννοιολογική με τη διαδικαστική γνώση των κλασμάτων, αναπτύσσοντας την δεύτερη σε βάρος της πρώτης. Το γεγονός αυτό ίσως να οφείλεται στον τρόπο με τον οποίο η διδασκαλία προσεγγίζει τους κλασματικούς αριθμούς – έμφαση στους κανόνες και αλγόριθμους και στην υποέννοια μέρος – όλο. Oι συνεντεύξεις και τα πειράματα επικοινωνίας έδειξαν ότι η αριθμητική γραμμή μπορεί να λειτουργήσει ως μέσο διαμορφωτικής αξιολόγησης, αφού συνέβαλε στην ανίχνευση παρανοήσεων και δυσκολιών των μαθητών σχετικά με την έννοια του κλάσματος με αποτέλεσμα να αρθούν οι παρανοήσεις αυτές. Όσον αφορά στην επίλυση προβλήματος προέκυψε ότι δεν υπήρχε στατιστικά σημαντική διαφορά ανάμεσα στην ομάδα που χρησιμοποίησε την αριθμητική γραμμή και στην ομάδα που χρησιμοποίησε όποιο τρόπο επιθυμούσε για την επίλυση προβλημάτων με κλάσματα. Σε αρκετές περιπτώσεις η αριθμητική γραμμή παρείχε οπτική βοήθεια στους μαθητές, ενώ αντίθετα, στις περιπτώσεις που οι μαθητές δε γνώριζαν πως να τη χρησιμοποιήσουν αποτέλεσε επιπρόσθετο παράγοντα δυσκολίας και νοητικού φόρτου. Οι πιο πάνω διαπιστώσεις οδήγησαν σε προβληματισμό σχετικά με το ρόλο της διδασκαλίας στην κατανόηση των κλασμάτων. Μετά την εφαρμογή ενός διδακτικού παρεμβατικού προγράμματος φάνηκε ότι η πειραματική ομάδα, η οποία διδάχθηκε την έννοια του κλάσματος με τη χρήση της αριθμητικής γραμμής είχε ψηλότερη επίδοση από την ομάδα ελέγχου η οποία διδάχθηκε την έννοια του κλάσματος μέσα από παραδοσιακές προσεγγίσεις (εμβαδόν ορθογωνίου και κύκλου, συμβολική έκφραση).

The specific research paper explores the suitability of the number line as a means of representing the concept of fraction. This specific subject is considered important , since the results of the current research concerning the role of number line in fractions’ representation and understanding do not always converge. Initially, it is theoretically proved that the number line is a geometric model that represents the set of rational numbers. Consequently, the objective is to determine whether it is an appropriate and an effective model for students of fifth grade to use. The methodology included the administration of three different tests (fraction understanding, fraction equivalence and addition of fractions), interviews and communication experiments. Based on the survey results, it was shown that students do not have fully developed the concept of fraction, since their performance was low concerning the recognition of the concept in a variety of representations, the handling of the concept in the same field of representation and the translation from one representation to another. Also, there was a modularization of tasks (lack of implicative connections) based on the kind of subject examined and the kind of the representation. It was obvious that conceptual knowledge – identification, representation – was not related to procedural knowledge –equivalence of fractions, addition of fractions. The modularization occurred indicates that students’ knowledge about fractions was fragmented. Regarding the types of translation, it seemed that students had difficulty in translation tasks which involved the number line. The students' performance varied in different types of tasks, which is an indication that students haven’t developed links amongst the conceptual knowledge and the procedural knowledge of fractions, developing the second against the first. This might by attributed to the way teaching approaches fractional numbers (emphasis on rules and algorithms and the sub concept part-whole). The interviews and the communication experiments showed that the number line as a linear model can act as a means of formative assessment, since it helped the researcher and the students to detect misunderstandings and difficulties concerning the concept of fraction and contributed to the elimination of a variety of misconceptions. With regard to problem solving it was shown that there was no statistically significant difference between the group using the number line and the group using any way they wanted to solve problems with fractions. In many cases the number line acted as a visual aid, while in other cases hindered students’ efforts since they did not know how to use the specific geometrical model. Consequently it resulted to more difficulties and mental workload. The above findings reflected on the role of teaching in understanding fractions. After the implementation of a teaching intervention program, it was shown that the experimental group which was taught the concept of fraction using the number line scored higher performance than the control group which dealt with the concept of fraction with more traditional approaches (rectangle area and circle area).