Contributions to wavelet methods in nonparametric statistics

Abstract

Στο πρώτο κεφάλαιο ασχολούμαστε με το πρόβλημα της εκτίμησης του ολοκληρώματος του τετραγώνου μιας συνάρτησης πυκνότητας όταν δεδομένα με βάρος ειναι διαθέσιμα. Δείχνουμε ότι ο προτεινόμενος εκτιμητής επιτυγχάνει τη βέλτιστη ταχύτητα σύγκλισης για δεδομένα χωρίς βάρος. Επίσης δίνουμε το πληροφοριακό φράγμα όταν δεδομένα με βάρος ειναι διαθέσιμα. Στο δεύτερο κεφάλαιο ασχολούμαστε με την εκτίμηση μιας άγνωστης συνάρτησης στο Κανονικό μοντέλο λευκού θορύβου και δείχνουμε ότι ο προτεινόμενος εκτιμητής επιτυγχάνει τη βέλτιστη ταχύτητα σύγκλισης. Τα αποτελέσματα αυτά γενικεύονται κάτω από το διακριτό μοντέλο και για παραγώγους της άγνωστης συνάρτησης. Στο τρίτο κεφάλαιο τα βέλτιστα αποτελέσματα στο μοντέλο συναρτησιακής συνέλιξης για το L^{2} σφάλμα γενικεύονται και για το L^{p} σφάλμα για p>=1.

In Chapter 1, we first consider the problem of estimating the integral of the square of a probability density function on the basis of a random sample from a weighted distribution. We show that the proposed estimator attains the minimax rate of convergence that is optimal for direct data. We obtain the information bound for the problem of estimating the integral of the square of a probability density function when weighted data are available. In Chapter 2, we consider the problem of estimating the unknown response function in the standard Gaussian white noise model and apply the Maximum a Posteriori Method in a wavelet context. Minimax rates are attained by the proposed estimator._These results are generalized under the sampled data model and for derivates of the response function. In Chapter 3, we extend the minimax results obtained under the functional denconvolution model under the L^{2} risk to the case of L^{p} risk, for p>=1.