Applications of root systems in geometry and physics

Abstract

Σε αυτή τη διατριβή μελετούμε περιοχές των μαθηματικών που μπορεί να φαίνονται ασυσχέτιστες αλλά έχουν κοινή προέλευση τη θεωρία των συστημάτων ριζών. Τα συστήματα ριζών χρησιμοποιούνται για την ταξινόμηση των αλγεβρών Lie αλλά εμφανίζονται και σε άλλες ταξινομήσεις, για παράδειγμα στην ταξινόμηση των πεπερασμένων ομάδων Coxeter. Επίσης χρησιμοποιούνται και στα ολοκληρώσιμα συστήματα στην κλασική και κβαντική μηχανική. Να αναφέρουμε τα συστήματα Toda, τα συστήματα Calogero-Moser και τα γενικευμένα συστήματα Volterra του Bogoyavlensky. Για ευκολία αυτή η διατριβή χωρίζεται σε δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος ασχολούμαστε με τα πολυώνυμα Coxeter των αφινικών αλγεβρών Lie και επίσης με τα πολυώνυμα Coxeter μιας οικογένειας ομάδων Coxeter οι οποίες ορίζονται μέσω γραφημάτων. Ορίζουμε τους αριθμούς Coxeter και τους εκθέτες ως προς κάθε κλάση συζυγίας των μετασχηματισμών Coxeter των απλών και αφινικών αλγεβρών Lie. Στην περίπτωση των αφινικών αλγεβρών Lie του τύπου έχουμε κλάσεις συζυγίας μετασχηματισμών Coxeter ενώ για όλες τις υπόλοιπες περιπτώσεις έχουμε μόνο μία. Υπολογίζουμε τα πολυώνυμα Coxeter, τους αριθμούς Coxeter και τους εκθέτες για κάθε μία από τις αφινικές άλγεβρες Lie χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις ιδιότητες των πολυωνύμων Chebyshev. Γενικεύουμε δύο μεθόδους των Steinberg και Berman, Lee και Moody για τον υπολογισμό των αφινικών αριθμών Coxeter και των αφινικών εκθετών στην περίπτωση της αφινικής άλγεβρας Lie τύπου . Χρησιμοποιούμε αυτές τις μεθόδους για τον υπολογισμό των αφινικών αριθμών Coxeter και των εκθετών για κάθε μία από τις αφινικές άλγεβρες Lie. Επίσης υπολογίζουμε τα πολυώνυμα Coxeter μίας οικογένειας ομάδων Coxeter τις οποίες ορίζουμε μέσω γραφημάτων. Σε αυτά τα γραφήματα περιλαμβάνονται πολλά γνωστά γραφήματα, για παράδειγμα τα διαγράμματα Dynkin τύπου , τα αφινικά διαγράμματα Dynkin τύπου , τα διαγράμματα και πολλά άλλα γνωστά γραφήματα. Υπολογίζουμε το όριο της φασματiκής ακτίνας των μετασχηματισμών Coxeter αυτών των ομάδων Coxeter όταν ο αριθμός των κορυφών τους τείνει στο άπειρο. Στο δεύτερο μέρος αυτής της διατριβής ασχολούμαστε με ολοκληρώσιμα συστήματα τα οποία είναι του τύπου Lotka-Volterra. Χρησιμοποιούμε μία καινούρια μέθοδο για να παράγουμε Χαμιλτονιανά συστήματα κατασκευάζοντας τα αντίστοιχα ζεύγη Lax. Αυτό το επιτυγχάνουμε χρησιμοποιώντας υποσύνολα των θετικών ριζών, συστημάτων ριζών απλών αλγεβρών Lie, τα οποία περιέχουν τις απλές ρίζες. Σε αρκετές περιπτώσεις η μέθοδος αυτή δίνει γνωστά Χαμιλτονιανά συστήματα τα οποία είναι τύπου Lotka-Volterra. Ονομάζουμε τα συστήματα τα οποία παίρνουμε από αυτή τη μέθοδο γενικευμένα συστήματα τύπου Lotka-Volterra. Ταξινομούμε όλα τα υποσύνολα των θετικών ριζών, που περιέχουν τις απλές ρίζες του συστήματος ριζών τύπου τα οποία μετά από μία απλή αλλαγή μεταβλητών δίνουν τύπου Lotka-Volterra. Επίσης αποδεικνύουμε ότι η μέθοδος μας δουλεύει και για αρκετά άλλα υποσύνολα των θετικών ριζών.

In this thesis we investigate some areas of mathematics which may be unrelated but nevertheless they have as common theme the theory of abstract root systems. Root systems of course are used in the classification of simple Lie algebras. They also appear in other classifications, for example the classification of finite Coxeter groups. They are also used in the theory of integrable systems in classical and quantum Mechanics. A number of mechanical systems are defined to correspond to simple or affine Lie algebras. We mention the various Toda lattices, Calogero-Moser systems and the generalized Volterra lattices of Bogoyavlensky. For convenience we divide this thesis in two parts. The first part is concerned with the Coxeter polynomials of finite and affine Lie algebras and also with the Coxeter polynomials of a family of Coxeter groups arising from graphs. We define the Coxeter number and exponents with respect to each conjugacy class of the Coxeter elements of the simple and affine Lie algebras. In the case of the affine Lie algebra of type we have different conjugacy classes of Coxeter elements while for all the other cases we have only one. We compute the Coxeter polynomial, the Coxeter number and exponents of each one of the simple and affine Lie algebras using properties of Chebyshev polynomials. We generalize two methods of Steinberg and Berman, Lee and Moody for the computation of affine Coxeter number and affine exponents in the case of the affine Lie algebra of type . We use these methods for the computation of the affine Coxeter number and affine exponents of each one of the affine Lie algebras. We also compute the Coxeter polynomials of a family of Coxeter groups defined by their Coxeter graphs. This family of graphs includes several well-known graphs, e.g. the Dynkin diagrams, the affine Dynkin diagrams, the diagrams and many other diagrams. We find the limit of the spectral radius of the Coxeter elements of these graphs as the number of the vertices of their arms tends to infinity. The second part of this thesis is concerned with the theory of integrable systems and more specifically with Lotka-Volterra systems. We device a new method for producing integrable systems by constructing the corresponding Lax pairs. This is achieved by considering a larger subset of the positive roots than the simple roots of a simple complex Lie algebra. In several cases these subsets of the positive roots recover well known Hamiltonian systems which are of Lotka-Volterra type. Therefore we call the systems produced by this method generalized Lotka-Volterra systems. We find all subsets of the positive roots of the simple Lie algebra of type which produce after a suitable change of variables Lotka-Volterra systems. Furthermore we show that our method works for several other cases.