Extensions of the Singular Function Boundary Integral Method to two and three dimensions

Abstract

H Μέθοδος Συνοριακού Ολοκληρώματος με Ιδιάζουσες Συναρτήσεις (Singular Function Boundary Integral Method, SFBIM) αναπτύχθηκε από τους Georgiou et. al. (1996) για την αριθμητική επίλυση διδιάστατων προβλημάτων Laplace με συνοριακές ιδιομορφίες. Στη μέθοδο αυτή, η λύση προσεγγίζεται με τους αρχικούς όρους του τοπικού αναπτύγματος της λύσης κοντά στο σημείο της ιδιομορφίας. Σταθμίζοντας τη διαφορική εξίσωση με τις συναρτήσεις βάσης κατά Galerkin και εφαρμόζοντας τη δεύτερη ταυτότητα του Green, το διακριτοποιημένο πρόβλημα ανάγεται σε ένα σύστημα ολοκληρωτικών εξισώσεων πάνω στο σύνορο του χωρίου και μάλιστα μακριά από το ιδιάζον σημείο. Έτσι η διάσταση του προβλήματος μειώνεται κατά ένα με σημαντική μείωση του υπολογιστικού κόστους. Οι συνοριακές συνθήκες τύπου Dirichlet επιβάλλονται μέσω συναρτήσεων πολλαπλασιαστών Lagrange, οι οποίες εμφανίζονται σαν επιπρόσθετοι άγνωστοι στο τελικό γραμμικό σύστημα και προσεγγίζονται τοπικά με πολυωνυμικές συναρτήσεις βάσης. Οι άγνωστοι στην μέθοδο SFBIM είναι οι ιδιάζοντες συντελεστές της προσέγγισης της λύσης, γνωστοί και ως γενικευμένοι συντελεστές συγκέντρωσης τάσεων, και οι διακριτές τιμές των πολλαπλασιαστών Lagrange. Το γεγονός ότι οι ιδιάζοντες συντελεστές υπολογίζονται απευθείας και όχι με μετεπεξεργασία της αριθμητικής λύσης αποτελεί άλλο πλεονέκτημα της μεθόδου. Η μέθοδος μελετήθηκε και εφαρμόστηκε σε Λαπλασιανά και Διαρμονικά προβλήματα στις δύο διαστάσεις, δίνοντας ταχεία σύγκλιση με το πλήθος των ιδιοσυναρτήσεων και το πλήθος των συντελεστών Lagrange. Η σύγκλιση της μεθόδου αναλύθηκε θεωρητικά στην περίπτωση διδιάστατων προβλημάτων Laplace. Οι στόχοι της διατριβής αυτής ήταν οι εξής: (i) Η αριθμητική επαλήθευση κάποιων θεωρητικών αποτελεσμάτων σε πρότυπα προβλήματα Laplace. (ii) Η απόδειξη της σύγκλισης της μεθόδου για ένα διδιάστατο διαρμονικό πρόβλημα με μια συνοριακή ιδιομορφία. (iii) Η επέκταση της μεθόδου σε τριδιάστατα προβλήματα Laplace με ιδιομορφίες ακμής. Για την επίτευξη του πρώτου στόχου μελετήσαμε προβλήματα Laplace πάνω σε κυκλικούς τομείς, με γνωστή αναλυτική λύση. Αυτό επέτρεψε τη μελέτη της σύγκλισης της μεθόδου για διάφορους βαθμούς της πολυωνυμικής προσέγγισης των πολλαπλασιαστών Lagrange και τον ακριβή υπολογισμό των σφαλμάτων προσέγγισης. Τα αριθμητικά μας αποτελέσματα συμφωνούν με τη θεωρητική ανάλυση των Xenophontos et al. (2006). Ο δεύτερος στόχος επιτεύχθηκε με την επέκταση της ανάλυσης σύγκλισης των Xenophontos et al. (2006) για ένα πρότυπο διδιάστατο διαρμονικό πρόβλημα με συνοριακή ιδιομορφία. Αποδείξαμε ότι οι υπολογιζόμενοι ιδιάζοντες συντελεστές συγκλίνουν εκθετικά με το πλήθος των ιδιοσυναρτήσεων. Εκτελέσαμε επίσης αριθμητικά πειράματα για ένα πρόβλημα ροής Stokes για την παρουσίαση των θεωρητικών ευρημάτων. Για τον τελευταίο στόχο επεκτείναμε τη μέθοδο για την επίλυση ενός τριδιάστατου προβλήματος Laplace με ιδιομορφία ακμής. Η τοπική λύση γύρω από την ακμή μπορεί να εκφρασθεί σαν ένα ασυμπτωτικό ανάπτυγμα που περιλαμβάνει τις ιδιοτιμές και τις ιδιοσυναρτήσεις του αντίστοιχου διδιάστατου προβλήματος σε πολικές συντεταγμένες, οι συντελεστές των οποίων είναι οι λεγόμενες συναρτήσεις ακμαίων συγκεντρώσεων ροής (edge flux intensity functions, EFIFs). Οι παράγωγοι ανώτερης τάξης αυτών των συναρτήσεων της αξονικής συντεταγμένης εμφανίζονται σε μια εσωτερική απειροσειρά στο ανάπτυγμα της λύσης (Yosibash et al., 2002). Προσεγγίζοντας τις συναρτήσεις EFIFs με τμηματικά πολυώνυμα βαθμού k=0, 1 σε ένα πλέγμα πλάτους h απαλείφουμε την εσωτερική απειροσειρά και μπορούμε να επεκτείνουμε τη μέθοδο SFBIM. Όπως και στα διδιάστατα προβλήματα, η λύση προσεγγίζεται από ένα πεπερασμένο πλήθος όρων του τοπικού αναπτύγματος και οι συνοριακές συνθήκες Dirichlet επιβάλλονται μέσω πολλαπλασιαστών Lagrange. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί έδειξαν ότι οι υπολογιζόμενες συναρτήσεις EFIFs συγκλίνουν με τάξη Ο(hk+1) ως προς την L2-νόρμα.

The Singular Function Boundary Integral Method (SFBIM) was introduced by Georgiou et al. (1996) for solving numerically two-dimensional Laplacian problems with one boundary singularity. In this method, the solution is approximated by the leading terms of the local asymptotic expansion near the singular point. By weighting the governing equation with the eigenfunctions in the Galerkin sense and applying Green's second identity, the discretized problem is reduced to a system of boundary integral equations far from the singular point. This reduces the dimension of the problem by one and leads to considerable computational savings. Dirichlet boundary conditions are enforced by means of Lagrange multiplier functions, which appear as additional unknowns in the system. These functions are approximated locally by polynomial basis functions. Therefore, the unknowns in the SFBIM are the coefficients of the eigenfunctions, also known as singular coefficients or generalized stress intensity factors, and the discrete Lagrange multiplier values. The fact that the singular coefficients are calculated directly and not by postprocessing the numerical solution is another advantage of the method. The latter has been applied to both Laplacian and biharmonic two-dimensional problems exhibiting fast convergence with the number of singular coefficients and the number of Lagrange multipliers. The convergence of the method has also been analyzed theoretically in the case of two-dimensional Laplacian problems. The objectives of this thesis were: (i) the numerical verification of certain theoretical results on model two-dimensional problems. (ii) the proof of convergence of the method for a two-dimensional biharmonic problem with one boundary singularity. (iii) the extension of the method to three-dimensional Laplacian problems with straight-edge singularities. For accomplishing the first objective, we considered a Laplacian problem over a circular sector, with known analytical solution. This allowed us to study the convergence of the method for various orders of the polynomial approximation of the Lagrange multipliers and to calculate the exact approximation errors. The numerical results agree well with the theoretical analysis of Xenophontos et al. (2006). Objective number two was achieved by extending the convergence analysis from Xenophontos et. al. (2006) to a model two-dimensional biharmonic problem with a boundary singularity. We proved that the calculated singular coefficients converge exponentially with the number of singular functions. To illustrate the theoretical findings, we have carried out numerical experiments on a Stokes flow problem. Finally, we extended the method for solving a three-dimensional Laplacian problem with a straight-edge singularity. The solution in the neighbourhood of the straight edge can be expressed as an asymptotic expansion involving the eigenpairs of the analogous two-dimensional problem, which have as coefficients the so-called edge flux stress intensity functions (EFIFs). The EFIFs are functions of the axial coordinate the higher derivatives of which appear in an infinite series in the expansion (Yosibash et al., 2002). Approximating the EFIFs by piecewise polynomials of degree k=0,1 defined on a mesh with width h, eliminates the inner infinite series in the local expansion and allows for the straightforward extension of the SFBIM. As in the case of two-dimensional problems the solution was approximated by the leading terms of the local asymptotic solution expansion and the Dirichlet boundary conditions were imposed by means of Lagrange multiplier functions. Our numerical calculations demostrated that the calculated EFIFs converge with order Ο(hk+1) , in the L2 norm.