Η Μέθοδος ιχνηλάτησης μετώπου σε συστήματα των νόμων διατήρησης

Abstract

Σε αυτή τη διατριβή, θα ασχοληθούμε με την επίλυση του συστήματος των νόμων διατήρησης: u_t+f(u)_x=0, όπου f : R^n to R^n μια δεδομένη ομαλή διανυσματική συνάρτηση και x in R, t > 0. Η διατριβή αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια και κυρίως βασίζεται στο βιβλίο με τίτλο Hyperbolic Systems of Conservation Laws. The One- Dimensional Cauchy Problem του A. Bressan. Στο Κεφάλαιο 2 θα ορίσουμε τις ασθενείς λύσεις και θα διατυπώσουμε μια αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε μια συνάρτηση να είναι ασθενής λύση του συστήματος των νόμων διατήρησης. Επίσης, θα διατυπώσουμε τις συνθήκες αποδεκτικότητας. Στο Κεφάλαιο 3 θα αναπτύξουμε δύο λύσεις του προβλήματος Riemann για δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις και ακολούθως θα ενώσουμε αυτές τις δύο λύσεις για να ορίσουμε την ασθενή λύση για το πρόβλημα Riemann με αρχικά δεδομένα που βρίσκονται αρκετά κοντά. Στο Κεφάλαιο 4 θα περιγράψουμε την μέθοδο ιχνηλάτησης μετώπου: θα ορίσουμε την ακολουθία απο προσεγγιστικές λύσεις που θα είναι τμηματικά σταθερές συναρτήσεις. Αυτές θα προκύψουν επιλύοντας προβλήματα Riemann στα σημεία που θα συγκρούονται τα μέτωπα της λύσης. Τέλος, θα δείξουμε ότι αυτή η ακολουθία θα συγκλίνει σε μια ασθενή λύση του συστήματος των νόμων διατήρησης και θα ικανοποιεί την αρχική συνθήκη του προβλήματος. Η σύγκλιση θα ισχύει με την προϋπόθεση ότι η αρχική συνθήκη θα έχει μικρή ολική διακύμανση.