Construction and fitting of random field models to precipitation data

Abstract

Η μοντελοποίηση της κατακρήμνισης είναι σημαντική επειδή έχει μεγάλο αντίκτυπο στην υδρολογία, τη γεωργία, τα παράγωγα καιρού, τη διαχείριση της ξηρασίας και των πλημμύρων. Μία δυσκολία στη μοντελοποίηση φαινομένων όπως η κατακρήμνιση είναι ότι περιγράφονται καλύτερα από μια μεικτή κατανομή που αποτελείται από ένα συνεχές μέρος και μια μάζα στο μηδέν. Αυτές οι κατανομές είναι στις περισσότερες περιπτώσεις είτε ασύμμετρες ή έχουν βαριές ουρές ή και τα δύο. Στην παρούσα διατριβή, μελετάμε το σύνθετο Πουασόν-Γάμμα μοντέλο το οποίο έχει την ικανότητα να μοντελοποιεί ταυτόχρονα την εμφάνιση και την ένταση της κατακρήμνισης. Ερευνούμε τις ιδιότητες του και τη σύγκλιση του άπειρου αθροίσματος του. Προτείνουμε διάφορες μεθόδους εκτίμησης των παραμέτρων του και αξιολογούμε την επίδοση τους σε δεδομένα προσομοίωσης και πραγματικά δεδομένα σε διαφορετικές χρονικές κλίμακες. Στο χωρικό πλαίσιο, ερευvνούμε την επέκταση του σύνθετου Πουασόν-Γάμμα μοντέλου σε πολλαπλές τοποθεσίες με χωρική εξάρτηση. Για το σκοπό αυτό προσαρμόζουμε τη μεθοδολογία των ενεργών μοντέλων κατανομής χρησιμοποιώντας μονομεταβλητά σύνθετα Πουασόν-Γάμμα μοντέλα συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας με χωρικά εξαρτώμενες παραμέτρους. Χρησιμοποιούμε δύο μεθόδους για να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους του σύνθετου Πουασόν-Γάμμα μοντέλου σε τοποθεσίες όπου δεν υπάρχουν παρατηρήσεις. Η πρώτη μέθοδος είναι η εφαρμογή της τεχνικής παλινδρόμησης συναρτήσεων πυρήνα, ενώ στη δεύτερη χρησιμοποιούμε εξισώσεις kriging. Στη συνέχεια, παράγουμε δεσμευμένες υλοποιήσεις στις τιμές της κατακρήμνισης χρησιμοποιώντας υπολογιστικά αποδοτικούς αλγόριθμους προσομοίωσης. Αυτές οι τιμές συσχετίζονται για να διασφαλιστεί η χωρική συνέχεια του παραγόμενου πεδίου κατακρήμνισης. Τελειώνοντας αξιολογούμε την αποτελεσματικότητα της ανακατασκευής. Επιπρόσθετα, ερευvνούμε την κατασκευή ενός χρονικού μοντέλου το οποίο να είναι ικανό να μοντελοποιεί συσχετισμένα δεδομένα αφού στην πραγματικότητα υπάρχει μία σειριακή συσχέτιση ανάμεσα στις ημερήσιες σειρές κατακρήμνισης. Προτείνουμε ένα μοντέλο το οποίο είναι χρήσιμο με την έννοια ότι απλοποιεί το σύνθετο Πουασόν-Γάμμα μοντέλο και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή ασυσχέτιστων δεδομένων κατακρήμνισης. Επιπλέον, προτείνουμε μία μέθοδο που ονομάσαμε ως πολυμεταβλητή προσέγγιση Πουασόν για τη μοντελοποίηση της χρονικής εξέλιξης της κατακρήμνισης και η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή συσχετισμένων δεδομένων σειρών κατακρήμνισης οι οποίες έχουν τα ίδια στατιστικά χαρακτηριστικά με τα ιστορικά δεδομένα σειρών κατακρήμνισης και αναπαράγουν με ακρίβεια τους περισσότερους δείκτες κατακρήμνισης όπως επίσης τις ξηρές/υγρές περιόδους. Μελετούμε επίσης τη συνάρτηση συνδιακύμανσης του περικομμένου και μετασχηματισμένου κανονικού τυχαίου πεδίου. Διεξάγουμε μία συγκριτική έρευνα για τις διαφορετικές μεθόδους εκτίμησης της συνάρτησης συνδιακύμανσης, αποδεικνύουμε μερικές από τις ιδιότητες τους και τις συγκρίνουμε θεωρητικά και αριθμητικά με την έννοια της επίδοσης τους στη χωρική παρεμβολή χρησιμοποιώντας εξισώσεις kriging.

Precipitation modelling is important because it has a great impact in hydrology, ecology, agriculture, weather derivatives, drought and flood management. One difficulty in modelling phenomena like precipitation is that they are best described by a mixture of discrete and continuous distributions consisting of a continuous part and an atom at zero. These distributions are in most cases either skewed or have heavy tails or both. In this thesis, we investigate the compound Poisson-Gamma model that has the ability to model simultaneously the occurrence and intensity of precipitation. We investigate its properties, its relation to the Tweedie distribution and the convergence of its infinite sum. We propose various methods of estimating its parameters and we evaluate the performance of the estimators on simulated and real precipitation data in different temporal scales. In the spatial framework, we investigate the extension of the compound Poisson-Gamma model in multiple locations with spatial dependence. For this purpose we adapt the methodology of effective distribution models using univariate effective compound Poisson-Gamma probability density functions with spatially dependent parameters. We use two methods to estimate the compound Poisson-Gamma parameters at the unobserved locations. The first one is to apply the kernel regression technique directly to the compound Poisson-Gamma parameters, while for the second one we use the kriging formulas. Then, we generate realizations conditionally on the precipitation values using computationally efficient simulation algorithms. These values are correlated, to ensure spatial continuity of the generated precipitation field. Finally, we evaluate the efficiency of the reconstruction. We also investigate the construction of a temporal model that will be able to model correlated data since in reality there is a serial correlation between daily precipitation series. We propose a model that is useful in the sense that it can simplify the compound Poisson-Gamma model and can be used to generate uncorrelated precipitation data. In addition, we propose a method termed as Multivariate Poisson approach to model the temporal evolution of precipitation and can be used for the construction of correlated precipitation series that have the same statistical characteristics with historical precipitation series and reproduce accurately the most precipitation indices as well as the dry/wet spells. The covariance function of the censored and transformed Gaussian random field is also investigated. We perform a comparison of the different methods for covariance estimation, we prove some of their properties and we compare them theoretically and numerically in the sense of their performance in the spatial interpolation using kriging formulas.