Cessation of circular and annular Couette flows of a Newtonian liquid with dynamic wall slip

Abstract

Αναλυτικές λύσεις προκύπτουν για την παύση των Νευτώνειων Couette ροών με συνθήκη ολίσθηση να εφαρμόζεται στα τοιχώματα που ακολουθεί το μοντέλο δυναμικής ολίσθησης. Το πρόβλημα της κυκλικής ροής Couette θα είναι το πρώτο που θα μελετηθεί και στη συνέχεια θα λυθεί το πρόβλημα της δακτυλιοειδούς ροής Couette. Στην κυκλική ροή Couette, υπάρχουν δύο περιστρεφόμενοι κάθετοι ομοαξονικοί κύλινδροι άπειρου μήκους και ο εσωτερικός κύλινδρος περιστρέφεται. Στη δακτυλιοειδή ροή Couette, υπάρχουν δύο οριζόντιοι ομοαξονικοί κύλινδροι άπειρου μήκους και ο εξωτερικός κύλινδρος ολισθαίνει. Η λύση μόνιμης ροής χωρίς ολίσθηση στα τοιχώματα μαζί με την εφαρμογή Navier και δυναμικής ολίσθησης στα τοιχώματα θα είναι ο τρόπος με τον οποίο θα προκύψει η λύση των δύο προβλημάτων με τη δυναμική ολίσθηση να είναι το πιο σημαντικό κομμάτι. Αυτή η εξίσωση ολίσθησης επιτρέπει ένα χρόνο χαλάρωσης στην ανάπτυξη της ολίσθησης του τοίχου μέσω ενός χρονικά εξαρτώμενου όρου που αναγκάζει την παράμετρο ιδιοτιμής να εμφανίζεται στις συνοριακές συνθήκες. Το χωρικό πρόβλημα που προκύπτει αντιστοιχεί σε ένα πρόβλημα Sturm–Liouville διαφορετικό από αυτό που προκύπτει χρησιμοποιώντας τη στατική συνθήκη ολίσθησης Navier. Η συνθήκη ορθογωνιότητας των σχετικών ιδιοσυναρτήσεων υπολογίζεται και παρέχονται οι λύσεις για την κυκλική και δακτυλιοειδή ροή Couette.

Analytical solutions are derived for the cessation Newtonian Couette flows with wall slip obeying a dynamic slip model. The circular Couette flow problem will be the first one that will be studied and afterwards the problem of annular Couette flow will be solved. In circular Couette flow, there are two rotating vertical coaxial cylinders of infinite length and the inner cylinder is rotating. In annular Couette flow, there are two horizontal coaxial cylinders of infinite length and the outer cylinder is sliding. The steady-state solution with no-slip at the walls along with the application of Navier and dynamic slip at the walls will be the way the solution of these two problems will be derived with dynamic slip being the most important part. This slip equation allows for a relaxation time in the development of wall slip by means of a time-dependent term which forces the eigenvalue parameter to appear in the boundary conditions. The resulting spatial problem corresponds to a Sturm–Liouville problem different from that obtained using the static Navier slip condition. The orthogonality condition of the associated eigenfunctions is derived and the solutions are provided for the circular and annular Couette flow.