Option pricing using nonlinear constrained optimization on implied non-recombining trees

Abstract

Σκοπός αυτής της διατριβής είναι η δημιουργία μοντέλων για εκτίμηση των παραμέτρων ενός δυαδικού (binary) δέντρου χρησιμοποιώντας τιμές αγοράς Ευρωπαϊκών συμβολαίων δικαιωμάτων προαίρεσης (European options). Για να εκτιμήσουμε την υπονοούμενη κατανομή (implied distribution), ελαχιστοποιούμε τη διαφορά μεταξύ των τιμών της αγοράς και των τιμών που εκτιμούνται από το μοντέλο υπό περιορισμούς που διατηρούν τις πιθανότητες μετάβασης του δέντρου καλά ορισμένες και εμποδίζουν τις ευκαιρίες καιροσκοπίας (arbitrage opportunities). Το υπό μελέτη πρόβλημα είναι μη-γραμμικό (μη-κυρτό) πρόβλημα βελτιστοποίησης με γραμμικούς περιορισμούς. Χρησιμοποιούμε Εξωτερική Μέθοδο Πέναλτι (Exterior Penalty Method) και για τη βελτιστοποίηση χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο Quasi-Newton. Στο πρώτο μοντέλο (INRT), θεωρούμε ότι η μεταβλητή του συστήματος είναι το υποκείμενο αγαθό (Underlying asset) σε κάθε κόμβο του δέντρου ενώ στο δεύτερο μοντέλο υποθέτουμε ότι η μεταβλητή είναι η τοπική διακύμανση (local volatility) σε κάθε κόμβο του δέντρου. Στο τρίτο μοντέλο θεωρούμε ότι οι αποδόσεις (returns) του υποκείμενου αγαθού έχουν σειριακή εξάρτηση (NMT). Ελέγχουμε τα μοντέλα χρησιμοποιώντας δεδομένα από το δείχτη FTSE 100 για το χρόνο 2003. Τα αποτελέσματα υποστηρίζουν τα προτεινόμενα μοντέλα. Το μοντέλο INRT είναι καλύτερο από μια βελτιωμένη έκδοση του διωνυμικού δέντρου προσαρμοσμένο στις τιμές της αγοράς (implied binomial tree) που προτάθηκε από τους Derman και Kani (1994) για την εκτίμηση Αμερικάνικων δικαιωμάτων προαίρεσης αγοράς (American call options) και εξίσου καλό με το μοντέλο INRT_LocalVol, ενώ το μοντέλο NMT είναι καλύτερο από το μοντέλο INRT. Τα προτεινόμενα μοντέλα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτίμηση εξωτικών και Over The Counter συμβολαίων δικαιωμάτων προαίρεσης υπό την ύπαρξη συναλλαγματικών κόστων.

The objective of the thesis is to develop models for calibrating a non-recombining (binary) tree using option market data. In order to capture the implied distribution, we minimize the discrepancy between the observed market prices and the model values subject to constraints that keep the probabilities well specified and prevent arbitrage opportunities. The problem under consideration is a non-convex optimization problem with linear constraints. We adopt an exterior penalty method and for the optimization we use a Quasi-Newton algorithm. In the first model we assume that the system variable is the underlying asset (INRT) at each node of the tree whereas in the second model we assume that the variable is the local volatility at each node of the tree (INRT_Local_Vol). In the third model we assume that the system variable is the underlying asset and we also assume serial dependence of underlying asset’s returns (NMT). We test the models using call options data of the FTSE 100 for the year 2003. Results strongly support our modeling approaches. The INRT model outperforms the improved version of the DK model in pricing of American calls and is equally good as the INRT_LocalVol model. The NMT model outperforms the INRT model. The proposed models can help pricing of exotic and Over The Counter options and can provide market consistent trees for option replication with transaction costs.