Geometrical figure apprehension : cognitive processes and structure

Abstract

Ο τρόπος που βλέπουμε ένα οποιοδήποτε σχήμα, κατασκευασμένο με συγκεκριμένα όργανα, αποτελεί ένα κρίσιμο γνωστικό παράγοντα για την επίλυση προβλημάτων, για το γεωμετρικό συλλογισμό και τη γεωμετρική απόδειξη. Ως εκ τούτου, είναι εμφανές ότι υπάρχει ανάγκη να προσδιοριστούν οι γνωστικές διαδικασίες και ο τύπος σύλληψης γεωμετρικού σχήματος που ενεργοποιείται κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων από μαθητές διαφόρων ηλιακών ομάδων και εκπαιδευτικών βαθμίδων. Η έρευνα αυτή οργανώθηκε με αναφορά σε δύο κυρίως θεωρητικά πλαίσια. Η πρώτη αφορά στη διάκριση μεταξύ τεσσάρων τύπων σύλληψης γεωμετρικών σχημάτων, που προτείνεται από τον Duval (1988): η αντιληπτική, η ακολουθιακή, η λειτουργική και η λεκτική. Το δεύτερο θεωρητικό πλαίσιο εστιάζεται στην εξέλιξη των γενικών στόχων του Αναλυτικού Προγράμματος για τη διδασκαλία της γεωμετρίας. Οι Houdement και Kuzniak (2003) έχουν προτείνει την ιδέα των γεωμετρικών παραδειγμάτων, στα πλαίσια της ανάλυσης του τρόπου εξέλιξης της θεσμικής οργάνωσης της διδασκαλίας. Ο γενικός στόχος αυτής της ερευνητικής μελέτης ήταν να διερευνήσει τη δομή και τις γνωστικές διαδικασίες της σύλληψης γεωμετρικού σχήματος, σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου. Η μελέτη αυτή βασίστηκε στο συνδυασμό ποσοτικών και ποιοτικών δεδομένων. Τα ποσοτικά δεδομένα συλλέχθηκαν με τη χρήση ενός δοκιμίου που περιλάμβανε 16 γεωμετρικά έργα. Το δοκίμιο χορηγήθηκε σε 881 μαθητές, ηλικίας 15 έως 17, από Γυμνάσια και Λύκεια αστικών και αγροτικών περιοχών της Κύπρου. Συγκεκριμένα, οι συμμετέχοντες ήταν 312 μαθητές Γ΄ Γυμνασίου, 304 μαθητές Α΄ Λυκείου, 125 μαθητές Β΄ Λυκείου με μαθηματικά κοινού κορμού και 140 μαθητές από Β΄ Λυκείου με μαθηματικά κατεύθυνσης. Τα ποιοτικά δεδομένα συλλέχθηκαν από 9 μαθητές, από τους οποίους πάρθηκαν συνεντεύξεις με βάση την επίλυση τεσσάρων έργων. Από την ανάλυση των δεδομένων προέκυψαν σημαντικά στοιχεία για τη σύλληψη γεωμετρικού σχήματος των μαθητών. Συγκεκριμένα, κατασκευάστηκε και επαληθεύτηκε ένα δομικό μοντέλο, με το οποίο προσδιορίστηκε η σημασία της αντιληπτικής, της λειτουργικής, της ακολουθιακής και της λεκτικής σύλληψης γεωμετρικού σχήματος. Αλληλεπιδράσεις εντοπίστηκαν μεταξύ των διαφόρων τύπων σύλληψης. Ισχυρές σχέσεις βρέθηκαν μεταξύ της λειτουργικής και της λεκτικής σύλληψης, καταδεικνύοντας τη σημασία της οπτικοποίησης στο γεωμετρικό συλλογισμό. Σημαντικές, επίσης, ήταν οι σχέσεις που προέκυψαν μεταξύ της λεκτικής και της ακολουθιακής σύλληψης, τονίζοντας τη σημασία της γνώσης των μαθηματικών ιδιοτήτων για τις γεωμετρικές κατασκευές και τις διαδικασίες συλλογισμού για τις γεωμετρικές αποδείξεις. Επιπλέον, ο ρόλος της αντιληπτικής σύλληψης προέκυψε καθοριστικός για την ενεργοποίηση της λειτουργικής και της λεκτικής σύλληψης γεωμετρικού σχήματος. Η σύλληψη γεωμετρικού σχήματος των μαθητών κυρίως αναπτύσσεται από τη μια εκπαιδευτική βαθμίδα στην επόμενη. Οι κυριότερες δυσκολίες των μαθητών προκύπτουν στα έργα λεκτικής και ακολουθιακής σύλληψης, ενώ εμφανίζονται ικανότεροι στην επίλυση έργων αντιληπτικής και λειτουργικής σύλληψης. H γεωμετρική δραστηριότητα των μαθητών του Γυμνασίου και της Α΄ τάξης του Λυκείου φαίνεται να εντοπίζεται κυρίως σε ένα παράδειγμα ενός μικτού τύπου Γεωμετρίας (Γεωμετρία 1/2), το οποίο περιέχει περισσότερα χαρακτηριστικά από την Εμπειρική Γεωμετρία (Γεωμετρία 1), ενώ η γεωμετρική δραστηριότητα των υπολοίπων μαθητών του Λυκείου φαίνεται ως επί το πλείστον να συνδέεται με ένα μικτό τύπο γεωμετρίας (Γεωμετρία 2/1), ο οποίος διακατέχεται περισσότερο από χαρακτηριστικά της Εμπειρικής Αξιωματικής Γεωμετρίας.

The way of looking at any figure constructed with specific tools is a crucial cognitive factor in solving problems and in reasoning and proving in geometry. Therefore, there is obviously a need to identify the cognitive processes and the type of apprehension that the students, from different age groups and educational levels, mobilize during the resolution of geometrical tasks. The research was organized mainly in reference to two theoretical frameworks. The first one concerns the distinction between four kinds of figure apprehension proposed by Duval (1988): perceptual, sequential, operative and discursive. The second theoretical framework focuses on the evolution of the global objectives in the teaching of geometry throughout the curriculum. Houdement and Kuzniak (2003) have proposed the notion of Geometrical Paradigms in analyzing this evolution in the institutional organization of teaching. The general aim of this study was to investigate the structure and the cognitive processes of the geometrical figure apprehension of the lower and the upper secondary school students. This examination was based on a combination of quantitative and qualitative data. The quantitative data were collected using a test comprising of 16 tasks, which was administered to 881 students, aged 15 to 17, of lower (Grade 9) and upper (Grade 10, Grade 11) urban and rural secondary schools, in Cyprus. In particular, the participants were 312 students from Grade 9, 304 students from Grade 10, 125 students from Grade 11a and 140 students from Grade 11b. The qualitative data were collected from 9 students with task – based interviews, based on the solution of four tasks. Based on the data analysis a structural model was constructed and verified, which determined the importance of the perceptual, the operative, the sequential and the discursive apprehension for the apprehension of a geometrical figure. Interrelations were traced between the different types of apprehension. Strong relations were found between the operative and the discursive apprehension, revealing the importance of visualization in geometrical reasoning. Significant relations also emerged between the discursive and the sequential apprehension, highlighting the importance of the knowledge of mathematical properties in a construction and a reasoning process. Furthermore, the role of the perceptual apprehension occurred very important for the mobilization of the discursive apprehension and the operative apprehension. The students’ geometrical figure apprehension mainly evolves from one grade to a next one and from one educational level to the following one. The sequential and the discursive apprehension tasks seem to create the most of the difficulties for the students, whereas they are more able to solve the operative and the perceptual apprehension tasks. The geometrical work of the students in the lower secondary school and the first grade of the upper secondary school seems to be mostly situated within a mixed type of geometry (GI/GII), possessing mostly characteristics of the Natural Geometry, whereas the geometrical work of the rest of the students in the upper secondary school appears to be mostly related to a mixed type of geometry (GII/GI) which mainly comprises of the characteristics of the Natural Axiomatic Geometry.