The singular function boundary integral method for laplacian and biharmonic problems with boundary singularities

Abstract

Στη διατριβή αυτή αναπτύσσουμε την Μέθοδο Συνοριακού Ολοκληρώματος με Ιδιόμορφες Συναρτήσεις (ΜΣΟΙΣ) σε Λαπλασιανά και διαρμονικά προβλήματα με ιδιόμορφα συνοριακά ση­μεία. Τέτοια προβλήματα συναντώνται σε αρκετές φυσικές και βιολογικές επιστήμες. Στην προτεινόμενη μέθοδο η λύση στη γειτονιά του ιδιόμορφου σημείου προσεγγίζεται από τους πρώ­τους όρους του ασυμπτωτικού αναπτύγματος της τοπικής λύσης των οποίων οι συντελεστές ονομάζονται ιδιόμορφοι συντελεστές. Με εφαρμογή της μεθόδου Galerkin διακριτοποιείται η διέπουσα μερική διαφορική εξίσωση και με τη βοήθεια του θεωρήματος Green το χωρικό ολο­κλήρωμα ανάγεται σε συνοριακό. Οι συνοριακές συνθήκες Dirichlet εφαρμόζονται ασθενώς με πολλαπλασιαστές Lagrange που προσεγγίζονται τοπικά με δευτεροβάθμιες συναρτήσεις βάσης. Προκύπτει έτσι, ένα γραμμικό σύστημα διακριτοποιημένων εξισώσεων με άγνωστους τους ιδιό­μορφους συντελεστές και τους πολλαπλασιαστές Lagrange. Στο πρώτο μέρος της διατριβής, η ΜΣΟΙΣ εφαρμόζεται σε δυο Λαπλασιανά προβλήματα σε χωρία σχήματος L. Τα αποτελέσματα της μεθόδου συγκρίνονται με αυτά άλλων μεθόδων και της hp εκδοχής των πεπερασμένων στοιχείων. Ακολούθως, η ΜΣΟΙΣ επεκτείνεται στην επίλυση διαρμονικών προβλημάτων με ιδιόμορφο συνοριακό σημείο και εφαρμόζεται στο ρευστοδυναμικό πρόβλημα ολίσθησης-μη ολίσθησης (stick-slip problem) και στο θραυστομηχανικό πρόβλημα Schiff. Στα προβλήματα αυτά η μέθοδος οδηγεί σε ταχείς ρυθμούς σύγκλισης και αποτελέσματα μεγάλης ακρίβειας που συγκρίνονται ευμενώς με αυτά άλλων τεχνικών της βιβλιογραφίας και με τις αναλυτικές λύσεις. Στο τελευταίο μέρος της διατριβής ασχολούμαστε με τη θεωρητική ανά­λυση της μεθόδου για προβλήματα Laplace και αποδεικνύουμε ότι υπό προϋποθέσεις, η σύγκλιση της είναι εκθετική.

In this dissertation we develop the Singular Function Boundary Integral Method (SFBIM) for Laplacian and biharmonic boundary value problems with boundary singularities. Such problems are encountered in many physical and biological applications. In the proposed method the solution in the neighbourhood of the singular point is approximated by the truncated local asymptotic expansion which is expressed as a series of singular functions, the coefficients of which are called singular coefficients. The Galerkin method is employed in order to discretize the governing partial differential equation. By means of the divergence theorem, the volume integrals are reduced to boundary integrals, and the Dirichlet boundary conditions are weakly enforced by means of Lagrange multiplier functions, which are expressed in terms of quadratic basis functions. The resulting linearized system of discretized equations, is solved for the unknown singular coefficients and the Lagrange multipliers. In the first part of the thesis, the SFBIM is applied to two Laplacian Problems over L-shaped domains. The results are compared with those of other methods and the p/hp finite element method. Then, the SFBIM is developed for the solution of two biharmonic problems with a boundary singularity and applied to the Newtonian stick-slip problem of fluid mechanics and the so-called Schiff problem of fracture mechanics. In all the above problems the method exhibits high accuracy and fast rate of convergence. The results compare favorably with the analytical solution and available numerical results in the literature. In the last part of the dissertation, we deal with the theoretical analysis of the method for Laplacian problems and we show that, under certain conditions, the convergence is exponential.