Asymptotic results for non I.I.D. multidimensionally indexed random variables

Abstract

Ο τομέας των τυχαίων μεταβλητών με πολυδιάστατους δείκτες είναι ένας πολύ γρήγορα αναπτυσσόμενος τομέας στις Πιθανότητες και στη Στατιστική. Η διατριβή αυτή πραγματεύεται ασυμπτωτικά αποτελέσματα για τις πιο πάνω τυχαίες μεταβλητές χωρίς κατ' ανάγκη, οι τυχαίες μεταβλητές να είναι ανεξάρτητες και ισόνομες. Για παράδειγμα δες Berk (1973) και Shergin (1983). Ειδικότερα, παρουσιάζουμε ένα νέο είδος εξάρτησης, την ακτινική εξάρτηση, η οποία είναι μία επέκταση της m-εξάρτησης. Για ακτινικά εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές με πολυδιάστατους δείκτες δίνονται κλασικά ασυμπτωτικά αποτελέσματα. Αρχικά διατυπώνονται γνωστά ασυμπτωτικά αποτελέσματα σχετικά με τυχαίες μεταβλητές με πολυδιάστατους δείκτες, χωρίς όμως να δίνονται αποδείξεις ή λεπτομέρειες. Στη συνέχεια, δίνεται η γενική τεχνική η οποία χρησιμοποιείται στην απόδειξη των πλείστων εκ των αποτελεσμάτων που παρουσιάζονται. Το πρώτο κλασσικό αποτέλεσμα που πραγματεύεται η διατριβή αυτή είναι η απόδειξη του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος. Ακολούθως, παρουσιάζεται το θεώρημα Berry-Esseen για ακτινικά εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές με πολυδιάστατους δείκτες. Επίσης, αποδεικνύεται ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών για ακτινικά εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές με πολυδιάστατους δείκτες χρησιμοποιώντας κλασικές τεχνικές. Όλα τα πιο πάνω αποτελέσματα αποδεικνύονται για την περίπτωση των τυχαίων μεταβλητών με διδιάστατους δείκτες. Η επέκταση των αποτελεσμάτων σε διάσταση μεγαλύτερου βαθμού μπορεί να επιτευχθεί εύκολα αν και ο συμβολισμός μπορεί να γίνει αρκετά πολύπλοκος. Τέλος, αποδεικνύονται διάφορες ανισότητες πιθανότητας για μη ισόνομες τυχαίες μεταβλητές. Οι ανισότητες αυτές μπορούν εύκολα να γενικευθούν και στην περίπτωση των τυχαίων μεταβλητών με πολυδιάστατους δείκτες.

A fast expanding field in Probability and Statistics is the field of multidimensionally indexed random variables. In this thesis we introduce asymptotic results for this type of random variables which are not necessarily independent and identically distributed. More specifically a new kind of dependence is introduced, the ρ-radius dependence, which is an extension of the notion of the m-dependence. See for example Berk (1973) and Shergin (1983). For multidimensionally indexed ρ-radius dependent random variables, classical asymptotic results are established, First, well known asymptotic results related to multidimensionally indexed random variables are stated without proofs. Then, a general technique is given which is subsequently used for the proofs of most of the asymptotic results. The first classical result presented, is the proof of the central limit theorem. Next, the Berry- Esseen theorem for multidimensionally indexed ρ-radius dependent random variables is given. In addition, the strong law of large numbers for multidimensionally indexed ρ-radius dependent random variables using classical techniques is proved. All the above results are proved for the case of two-dimensionally indexed random variables. The extension to higher dimensions can be easily done even though the notation might become quite complicated. Finally, various probability inequalities for non identically distributed random vari¬ables are established. These inequalities can easily be extended to multidimensionally indexed random variables.