hp-Finite Element Methods For Singularly Perturbed Problems With Two Small Parameters

Abstract

We consider second- and fourth-order singularly perturbed problems with two small parameters, in one and two dimensions. As is well known, a main difficulty in such problems is the presence of boundary layers in the solution, whose accurate approximation, independently of the singular perturbation parameter(s), is of great importance for the overall reliability of the approximate solution. The purpose of this dissertation is to obtain analytic regularity results for the solution, under the assumption of analytic input data, and construct its approximation by the hp-Finite Element Method (FEM). From the point of view of regularity, we first provide classical differentiability bounds that are explicit in the order of differentiation and the singular perturbation parameters. When these parameters are small, we show that the solution can be decomposed into a smooth part, boundary layers and a negligible remainder. Derivative estimates are obtained for each component, through the method of asymptotic expansions, which again are explicit in the differentiation order and the singular perturbation parameters. The above are achieved for one-dimensional problems, while in two dimensions we make assumptions in line with these results. Using the regularity estimates, we construct approximations by the hp-FEM on the so-called Spectral Boundary Layer mesh and we show that the method converges uniformly, with respect to both parameters, at an exponential rate when the error is measured in the energy norm associated with the problems. Numerical examples are also presented, which illustrate our theoretical findings.

Η παρούσα διατριβή αφορά προβλήματα 2ης και 4ης τάξης με δύο μικρές παραμέτρους, στη μία και στις δύο διαστάσεις, τα οποία είναι διαταραγμένα με ιδιόμορφο τρόπο. ΄Οπως είναι γνωστό, βασική δυσκολία σε τέτοιου είδους προβλήματα είναι η παρουσία συνοριακών στρωμάτων στη λύση, των οποίων η ακριβής προσέγγιση, ανεξάρτητα από την ή τις παραμέτρους διαταραχής, έχει τεράστια σημασία για τη συνολική αξιοπιστία της προσεγγιστικής λύσης. Σκοπός μας είναι η λήψη εκτιμήσεων αναλυτικής ομαλότητας για τη λύση, υπό την προϋπόθεση αναλυτικών δεδομένων, και η προσέγγισή της με την εκδοχή hp της Μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ). Από πλευράς ομαλότητας, αρχικά παρέχουμε φράγματα στην περίπτωση κλασικής διαφόρισης, τα οποία είναι ρητά ως προς την τάξη διαφόρισης και τις παραμέτρους διαταραχής. Για μικρές τιμές αυτών των παραμέτρων, δείχνουμε ότι η λύση γράφεται ως ένα άθροισμα όρων που αποτελούνται από το ομαλό μέρος, τα συνοριακά στρώματα και ένα αμελητέο υπόλοιπο. Εκτιμήσεις παραγώγων λαμβάνονται για κάθε όρο, μέσω της μεθόδου ασυμπτωτικών αναπτυγμάτων, οι οποίες είναι και πάλι ρητές ως προς την τάξη διαφόρισης και τις παραμέτρους διαταραχής. Τα πιο πάνω επιτυγχάνονται για τα προβλήματα στη μία διάσταση, ενώ στις δύο διαστάσεις κάνουμε υποθέσεις που συνάδουν με αυτά τα αποτελέσματα. Χρησιμοποιώντας τις εκτιμήσεις ομαλότητας, κατασκευάζουμε μία κατάλληλη προσέγγιση για τη λύση, με την εκδοχή hp της ΜΠΣ στο λεγόμενο Φασματικό Πλέγμα Συνοριακών Στρωμάτων και δείχνουμε ότι η μέθοδος συγκλίνει ομοιόμορφα, ως προς τις δύο παραμέτρους, με εκθετικό ρυθμό όταν το σφάλμα υπολογίζεται στη νόρμα ενέργειας. Επίσης, παρουσιάζουμε αριθμητικά παραδείγματα τα οποία απεικονίζουν τα θεωρητικά μας ευρήματα.