Το Πρόβλημα του Εμποδίου

Abstract

Η παρούσα Μεταπτυχιακή Διατριβή περιλαμβάνεται στη γενική περιοχή των γραμμικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων και στη λεγόμενη Θεωρία των Ελεύθερων Συνόρων. Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) είναι ίσως ο πιο σημαντικός σύνδεσμος μεταξύ των Μαθηματικών και άλλων επιστημών. Τα μοντέλα που εμφανίζονται στη Φυσική, τη Βιολογία, τα Χρηματοοικονομικά κ.λπ., περιγράφονται μέσω των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων και η μαθηματικά αυστηρή θεμελίωση είναι απαραίτητη για την κατανόηση και επίλυση των αντίστοιχων προβλημάτων. Ο κύριος σκοπός αυτού του έργου είναι να μελετήσει τη μαθηματική μεθοδολογία που θεωρείται ευρέως κατάλληλη για μια αυστηρή μαθηματική ανάλυση των ερωτήσεων που περιλαμβάνονται στον τομέα των προβλημάτων Ελεύθερων Συνόρων και ειδικότερα σε προβλήματα τύπων Εμποδίου. Αυτά τα θεωρητικά προβλήματα προκύπτουν με φυσικό τρόπο κατά τη μελέτη διαφόρων φαινομένων. Υποκινούνται από εφαρμογές στη θεωρία ελαστικότητας, στη θεωρία αλλαγής φάσης υλικών, στις ροές υγρών και ερωτήσεων στο γενικό πεδίο της βελτιστοποίησης σχημάτων. Η περιοχή, λόγω της φύσης των προβλημάτων (άμεση σχέση με την τεχνολογία, φυσικές και οικονομικές επιστήμες) παραμένει εξαιρετικού ενδιαφέροντος. Ο κύριος σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η παρουσίαση της ομαλότητας της λύσης, όπως αυτή μπορεί να επιτευχθεί για το κλασικό πρόβλημα του Εμποδίου. Στο κεφάλαιο 1 δίνουμε κάποια εισαγωγικά στοιχεία μαζί με την απλούστερη μοντελοποίηση των προβλημάτων τύπου Εμποδίου καθώς και μια γνωστή εφαρμογή όπου ο αναγνώστης μπορεί να δει πώς προκύπτει ένα απλό Πρόβλημα Εμποδίου. Στο κεφάλαιο 2 δίνουμε κάποια χρήσιμα εργαλεια, που θα χρειαστούμε σχετικά με τους χώρους $Sobolev$ και την σύγκλιση. Στο κεφάλαιο 3 κάνουμε μία σύντομη αναφορά στο Λογισμό των Μεταβολών και την ελαχιστοποίηση ενεργειών. Στο κεφάλαιο 4 παραθέτουμε το Πρόβλημα Εμποδίου, αποδεικνύοντας ύπαρξη μοναδικής λύσης, καθώς και χρήσιμες ιδιότητες της λύσης. Στο κεφάλαιο 5 μελετούμε τις ιδιότητες διαφορησιμότητας της λύσης του Προβλήματος Εμποδίου. Στο κεφάλαιο 6 εξετάζουμε την Ομαλότητα της Λύσης και των Παραγώγων της. Τέλος στο κεφάλαιο 7 δίνουμε ένα παραβολικό τύπο $Almgren$ που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει μια διαφορετική απόδειξη της βέλτιστης ομαλότητας ως προς τη χωριακή μεταβλητή για τη λύση στο πρόβλημα το κλασματικού Λεπτού Εμποδίου.