Kansa radial basis function method with fictitious centres for solving nonlinear boundary value problems

Abstract

Μια μέθοδος παρεμβολής Kansa-radial basis function (RBF) εφαρμόζεται σε δισδιάστατα προβλήματα συνοριακών τιμών δευτέρας και τέταρτης τάξεως. Η λύση προσεγγίζεται με το γραμμικό συνδυασμό των RBF, κάθε μια από τις οποίες σχετίζεται με ένα διαφορετικό κέντρο και μια διαφορετική παράμετρο σχήματος. Εκτός από τους συντελεστές RBF στην προσέγγιση της λύσης, οι τιμές των παραμέτρων σχήματος θεωρούνται άγνωστες. Επιπλέον, τα κέντρα κατανέμονται σε έναν μεγαλύτερο χωρίο που περιέχει το αρχικό χωρίο του προβλήματος. Το μέγεθος αυτού του μεγαλύτερου χωρίου ελέγχεται από μια παράμετρο μεγέθυνσης που συμπεριλαμβάνεται στους άγνωστους. Στα προβλήματα τέταρτης τάξεως όπου έχουμε δύο συνοριακές συνθήκες, επιλέγονται δύο διαφορετικά σύνολα συνοριακών κέντρων. Η Kansa RBF διακριτοποίηση έχει σαν αποτέλεσμα ένα σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων το οποίο επιλύεται με τη βοήθεια λογισμικού. Η προτεινόμενη τεχνική εφαρμόζεται σε τέσσερα προβλήματα και τα αριθμητικά αποτελέσματα αναλύονται.

Kansa-radial basis function (RBF) collocation method is applied to two-dimensional second and fourth order nonlinear boundary value problems. The solution is approximated by a linear combination of RBFs, each of which is associated with a centre and a diferent shape parameter. As well as the RBF coe cients in the approximation, these shape parameter values are taken to be among the unknowns. In addition, the centres are distributed within a larger domain containing the physical domain of the problem. The size of this larger domain is controlled by a dilation parameter which is also included in the unknowns. In fourth order problems where two boundary conditions are imposed, two sets of (di erent) boundary centres are selected. The Kansa-RBF discretization yields a system of nonlinear equations which is solved by standard soft ware. The proposed technique is applied to four problems and the numerical results are analyzed and discussed.