Μια πολυδιάστατη μελέτη της κατανόησης του γεωμετρικού σχήματος

Abstract

Η Γεωμετρία βοηθά να κατανοήσουμε τον χώρο στον οποίο ζούμε αφού κάνουμε συλλογισμούς για το πως εμφανίζονται μερικά πράγματα, πως είναι τοποθετημένα, που βρίσκονται και πως κινούνται (NCTM 2009). Η έρευνα μελετά την λειτουργία του Γεωμετρικού σχήματος βασισμένη στο μοντέλο που εκπόνησε ο Γάλλος Raymonde Duval (1998), και αποτελείται από την α)Αντιληπτική Κατανόηση β)Λεκτική Κατανόηση γ)ακολουθιακή κατανόηση και δ)Λειτουργική Κατανόηση. Ο κύριος στόχος της μελέτης ήταν να εξετάσει την λειτουργία του Γεωμετρικού Σχήματος στο Γεωμετρικό συλλογισμό σε μαθητές Ε’, Στ’ Δημοτικού και Α’ , Β’ Γυμνασίου και να διερευνηθούν τα τρία είδη κατανόησης, Αντιληπτική , λεκτική και λειτουργική. Οι άξονες της διερεύνησης είναι α) η γνωστική δομή της κατανόησης Γεωμετρικού σχήματος β) η επίδραση που έχουν οι διάφοροι τύποι κατανόησης στην επίλυση ενός γεωμετρικού προβλήματος γ) η επίδραση που έχει η αλλαγή βαθμίδας στην λειτουργική κατανόηση δ) προβλήματα και δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στην λειτουργικής κατανόηση ε) η λειτουργεία του Γεωμετρικού σχήματος σε γνωστά θεωρήματα Γεωμετρίας; Η έρευνα εξετάζει το θέμα αυτό με τρεις διαφορετικούς τρόπους. Ο πρώτος αφορά έρευνα σε μεγάλο πληθυσμό και βασίζεται σε ερωτηματολόγιο με έργα που συνδέονται με τις τρεις υπό μελέτη διαστάσεις. Ο δεύτερος εξετάζει την λειτουργία του σχήματος σε θεωρήματα της Γεωμετρίας με τα οποία έρχονται αντιμέτωποι οι μαθητές. Εξετάζει πως οι επιστημολογικές λειτουργίες, εξεικόνισης, κατασκευής και συλλογισμού όπως προτείνονται από τον Duval (1998) συνδέονται με τους τύπους κατανόησης Γεωμετρικού Σχήματος. Τέλος ο τρίτος τρόπος αφορά έρευνα σε ειδικό πληθυσμό, μαθητές που συμμετέχουν σε μαθηματικούς διαγωνισμούς, με τα έργα του δοκιμίου να έχουν αντληθεί από προηγούμενους μαθηματικούς διαγωνισμούς αλλά συνδέονται με τις τρεις υπό μελέτη διαστάσεις. Από τα αποτελέσματα της παρούσας πολυδιάστατης μελέτης προκύπτει ότι η κατανόηση Γεωμετρικού σχήματος ερμηνεύεται με ένα μοντέλο τρίτης τάξης με αναπόσπαστο μέρος τα τρία είδη κατανόησης που εξετάστηκαν. Το μοντέλο είναι σταθερό και δεν επηρεάζεται από την ηλικία από την βαθμίδα και από το γνωστικό επίπεδο. Το κάθε είδος κατανόησης είναι ξεχωριστό από τα υπόλοιπα και επιδρά στην κατανόηση με διαφορετικό τρόπο. Όλα όμως τα είδη συνεισφέρουν σημαντικά στην όλη δομή του μοντέλου. Την ίδια ώρα για να μπορέσει ο μαθητής να αναπτύξει την γεωμετρική του σκέψη θα πρέπει να είναι σε θέση να συνδυάζει αλλά και να αλληλοεπιδρά μεταξύ των ειδών αυτών. Τα είδη κατανόησης δεν ακολουθούν καμία ιεραρχία. Η αντιληπτική κατανόηση είναι εντελώς απαραίτητη σε οποιοδήποτε έργο Γεωμετρίας. Το γνωστικό επίπεδο των μαθητών επηρεάζει σε πολύ μεγάλο βαθμό την επίδοση του μαθητή αφού υπάρχουν σημαντικές διαφορές που αφορούν τα αποτελέσματα των μαθητών διαφορετικού γνωστικού επιπέδου. Οι δυσκολίες των μαθητών στην κατανόηση του σχήματος προκύπτουν από διάφορους παράγοντες, και κάθε ένας επηρεάζει ένα ή και περισσότερα είδη κατανόησης. Υπάρχει ανάγκη να επαναπροσδιοριστούν οι διδακτικές πρακτικές έτσι ώστε να υπάρχει περισσότερή επαφή του μαθητή με έργα τα οποία απαιτούν προσεγγίσεις τροποποίησης του σχήματος. Αυτό θα βοηθήσει του μαθητές να αναπτύξουν τις λειτουργική κατανόηση και να εφαρμόζουν τις τροποποιήσεις εκεί που είναι απαραίτητο. Αυτό θα επιτρέψει στους μαθητές να κατανοήσουν καλύτερα τα θεωρήματα τα οποία αποτελούν τη βάση της Γεωμετρίας.

Geometry helps us to understand the space in which we live after making comments about how few things appear, how they are arranged and how they move (NCTM 2009). The research studies the function of a geometric figure based on the model developed by Frenchman Duval Raymonde (1998), and consists of four dimensions a) Perceptual Understanding b) Verbal Understanding c) sequential understanding and d) Functional Understanding. The main objective of this research was to examine the operation of geometric figure in Geometric reasoning for students of 5th, 6th grade of the primary school and 7th and 8th grade in the secondary schools and to investigate three types of comprehension, Perceptual, Discursive, and operational. The axes of investigation are a)the cognitive structure of understanding geometric figure b)the impact of various types of understanding in solving a geometrical problem c)the effect of the educational level in operational understanding d)difficulties encountered by students in operational understanding e)the functioning of geometric figure to known Geometry theorems. The research examines this issue in three different ways. The first involves research in a large population in grades 5 to 8 based on a questionnaire with exercises related to the three dimensions under study. The second examines the functioning of geometric figure in geometry theorems and how the three epistemological functions of representation, construction and reasoning as proposed by Duval (1998) are associated with the types of understanding geometric figure. The third way involves research in special population and consists of students participating in math competitions, with the exercises related to the three dimensions under study be drawn from previous mathematical contests. The main conclusion is that the understanding geometric figure is interpreted with a third order model which consists of the three kinds of understanding that were tested. The model shown to be stable and not affected by either the student's age, nor by the educational level in which they study nor from their cognitive level. Each kind of understanding is unigue and impacts on understanding differently. All kinds of understanding contribute significantly to the whole structure of the model. For the student to develop geometric thinking he should be able to combine and interact with the other types of understanding. The different types of understanding do not follow any hierarchy. Perceptual understanding is essential to any geometry question. The results show that the cognitive level of the students greatly affects the performance of the student since there are significant differences of pupils of different cognitive level. Students difficulties in understanding the geometric figure result from several factors, each of which affects one or more kinds of understanding. There is a need to redefine the teaching practices in order to increase the student's contact with exercises which require figure modification approaches. This will help the students to develop their operational understanding and to apply modifications of the shape where is needed. This will allow students to better understand the theorems which are the basis of geometry.