Εισαγωγή στην άλγεβρα στο δημοτικό σχολείο: η έννοια της ισότητας και ο χειρισμός έργων με διαφορετική μορφή αναπαράστασης, σύνταξη και δομή

Abstract

Η συμπερίληψη βασικών αλγεβρικών εννοιών στο αναλυτικό πρόγραμμα της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης προκύπτει από την ανάγκη για αντιμετώπιση των σοβαρών δυσκολιών που παρουσιάζουν οι μαθητές δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης στην ανάπτυξη αλγεβρικής σκέψης. Η κατανόηση της έννοιας της ισότητας, ως βασικό δομικό στοιχείο των αλγεβρικών έργων, πιστεύεται ότι μπορεί να βοηθήσει στην ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης να χειρίζονται τέτοια έργα. Ο κύριος σκοπός της παρούσας μελέτης είναι η διαμόρφωση ενός ιεραρχικού μοντέλου με βάση εμπειρικά δεδομένα για την ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης να χειρίζονται αλγεβρικά έργα. Στην παρούσα εργασία διερευνήθηκαν οι ικανότητες των μαθητών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης να κατανοούν το σύμβολο της ισότητας «=» με περιληπτικό τρόπο (δυναμικά και συσχετιστικά) και να χειρίζονται έργα με διαφορετική σύνταξη, αναπαράσταση και δομή. Μελετήθηκε ο βαθμός συσχέτισης αυτών των ικανοτήτων και η σχέση του φύλου και της τάξης στις επιδόσεις των μαθητών σε αυτές. Η ιεράρχηση των έργων που μπορούν να χειρίζονται οι μαθητές πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, καθώς και ο σχεδιασμός και η εφαρμογή παρεμβατικού προγράμματος για την ανάπτυξη αυτών των ικανοτήτων αποτέλεσαν βασικά ερευνητικά ερωτήματα της εργασίας. Οι 784 μαθητές Γ΄ μέχρι Στ΄ τάξης δημοτικού σχολείου που αποτέλεσαν το δείγμα συμπλήρωσαν δύο δοκίμια, ένα για τον καθορισμό του επιπέδου κατανόησης του συμβόλου της ισότητας «=» και ένα για τη μέτρηση της ικανότητάς τους για χειρισμό αλγεβρικών έργων. Υποσύνολο του δείγματος (Ν=135) συμμετείχε σε παρεμβατικό πρόγραμμα που αποσκοπούσε στη βελτίωση των ικανοτήτων των μαθητών στα θέματα αυτά. Παράλληλα, καταγράφηκαν αλλαγές στις επιδόσεις τους με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Το παρεμβατικό πρόγραμμα βασίστηκε στον κοινωνικό οικοδομισμό και περιλάμβανε δραστηριότητες χειρισμού έργων με διαφορετική αναπαράσταση, σύνταξη και δομή, καθώς και δραστηριότητες αναγνώρισης και κατασκευής ισοδύναμων μαθηματικών παραστάσεων σε ποικιλία μορφών αναπαράστασης. Τέλος συγκεντρώθηκαν επιπρόσθετα δεδομένα από 427 υποκείμενα για την εγκυροποίηση του ιεραρχικού μοντέλου. Αναφορικά με το σύμβολο της ισότητας «=», διαπιστώθηκε ότι ένα μεγάλο ποσοστό των μαθητών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης δεν αναπτύσσει συσχετιστική κατανόηση του συμβόλου της ισότητας «=». Αυτός ο τρόπος κατανόησης του συμβόλου επηρεάζει την ικανότητά τους να χειρίζονται αλγεβρικά έργα. Η εφαρμογή του παρεμβατικού προγράμματος έδειξε την ικανότητα των μαθητών να αναπτύξουν περιληπτικό τρόπο κατανόησης τους συμβόλου και να βελτιώσουν την ικανότητά τους στο χειρισμό αλγεβρικών έργων. Η ανάπτυξη δομικής κατανόησης για την έννοια της ισότητας σε πολλαπλές μορφές αναπαράστασης είναι δυνατό να βοηθήσει τους μαθητές πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης στο χειρισμό αλγεβρικών έργων και στην προετοιμασία τους για τη μελέτη της άλγεβρας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Για αυτό μέσα από τη διατριβή προτείνεται και εγκυροποιείται ένα πρωτότυπο θεωρητικό μοντέλο, το οποίο βασίζεται στην αντίληψη ότι η ανάπτυξη περιληπτικού τρόπου κατανόησης του συμβόλου της ισότητας συμβάλλει στην ανάπτυξη της ικανότητας χειρισμού αλγεβρικών έργων με διαφορετική μορφή αναπαράστασης, σύνταξη και δομή. Το μοντέλο προσδίδει μια νέα προοπτική στη διδακτική της έννοιας της ισότητας και του νοήματος του συμβόλου της ισότητας στους μαθητές πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης και συντελεί στη δημιουργία θεωρητικής βάσης για τη διδασκαλία και την ανάπτυξη αναλυτικών προγραμμάτων. Γενικά τα συμπεράσματα της έρευνας συνεισφέρουν στη δημιουργία θεωρητικού υπόβαθρου για την ανάπτυξη αλγεβρικής σκέψης στους μαθητές πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης.

The introduction of basic algebraic concepts in the elementary school curriculum can help secondary school students succeed with algebra later. Developing structural thinking to elementary school students may facilitate the development of their algebraic thinking. The development of the concept of equality, as a basic component of algebraic tasks, can support the development of the ability of working with algebraic tasks. The main purpose of the present study is the construction of a hierarchical model based on empirical data for the development of elementary school students’ ability to work with algebraic tasks. This research study has focused on the examination of elementary school students’ ability to develop inclusive understanding of the equal symbol (operational and relational) and their ability to work with tasks of different syntax, representation format and structure. The correlation between these abilities has been investigated and the effect of gender and grade has been studied. Moreover, the hierarchy of the tasks that elementary school students are able to work with and the design of an intervention program targeting the improvement of the students’ level of equal symbol understanding and their ability to work with algebraic tasks were two of the research questions of the present study. The sample consisted of 784 grade 3 through 6 students who completed two tests, one for the determination of the level of the equal sign understanding and one for the measurement of their ability to work with algebraic tasks. Subset of this sample participated in an intervention program for the development of these abilities. Along with the program, repeated measures of their abilities were administered. The intervention program was based on social constructivism and included activities that students worked with tasks of different syntax, representation format and structure. Also, the program included activities that required students to recognize and construct equalities in multiple representation formats. Finally, data were collected from another 427 students for the validation of the hierarchical model. It has been found that elementary school students had not developed inclusive (operational and relational) understanding of the equal sign. This limited understanding influences their ability to work with algebraic tasks. The intervention program that was implemented has shown that elementary school students are capable of developing inclusive understanding of the equal symbol and can improve their ability to work with algebraic tasks. Data analysis of 1241 elementary school students’ ability to work with algebraic tasks resulted in the construction of a hierarchical model that describes the levels of difficulty of the algebraic tasks students can work with. The findings of the present study have suggested and validated an original theoretical model which is based on the notion that inclusive understanding for the equal sign can support the development of the ability to work with algebraic tasks of different syntax, representation format and structure. The model gives a new perspective to the teaching of the concept of equality and to the meaning of the equal sign to elementary school students and subscribes to a theoretical basis for teaching and curriculum development.