Θεωρητικό μοντέλο για την κατανόηση μιας εννοιας των μαθηματικών του δημοτικού σχολείου : η περίπτωση των κλασμάτων

Abstract

Σκοπός της παρούσας εργασίας ήταν η ανάπτυξη και ο έλεγχος θεωρητικού μοντέλου με παράγοντες που συνθέτουν την κατανόηση μιας έννοιας των μαθηματικών του δημοτικού σχολείου. Οι παράγοντες που υποθέτουμε με βάση το προτεινόμενο μοντέλο ότι συνθέτουν την κατανόηση είναι: ο επαγωγικός συλλογισμός, οι ορισμοί και οι μαθηματικές εξηγήσεις, η επιχειρηματολογία και η τεκμηρίωση, η αίσθηση για το μέγεθος των κλασμάτων, οι αναπαραστάσεις, οι διασυνδέσεις και ο αναστοχασμός . Στην παρούσα έρευνα τα κλάσματα επιλέγηκαν για την εξέταση του προτεινόμενου μοντέλου. Ακόμη, σκοπός της εργασίας ήταν ο σχεδιασμός και η εφαρμογή παρεμβατικού προγράμματος για τη διδασκαλία των παραγόντων της κατανόησης με στόχο τη βελτίωση της ικανότητας των μαθητών στους παράγοντες που συνθέτουν την κατανόηση των κλασμάτων και της κατανόησης των κλασμάτων. Για την υλοποίηση των στόχων της έρευνας, θεωρήθηκε απαραίτητη η ανάπτυξη και η εφαρμογή ερευνητικού σχεδίου με τα εξής στάδια: (α) κατασκευή και χορήγηση δύο δοκιμίων μέτρησης των παραγόντων σε 344 μαθητές Ε΄ και Στ΄ τάξης σε πιλοτική φάση, (β) τροποποίηση των δοκιμίων με βάση τα αποτελέσματα της πιλοτικής φάσης και χορήγησή τους σε 349 μαθητές Στ΄ τάξης που αποτέλεσαν το δείγμα στην κυρίως έρευνα (pre-test), (γ) διαμοιρασμός του δείγματος σε πειραματική ομάδα (145 μαθητές) και σε ομάδα ελέγχου (204 μαθητές) και εφαρμογή στους μαθητές της πειραματικής ομάδας των διδασκαλιών στα πλαίσια του παρεμβατικού προγράμματος, (δ) χορήγηση των δύο δοκιμίων σε όλο το δείγμα αμέσως μετά την εφαρμογή της παρέμβασης (post-test) και (ε) χορήγηση των δύο δοκιμίων τρεις μήνες μετά το πέρας της παρέμβασης (retention-test). Τα αποτελέσματα της επιβεβαιωτικής παραγοντικής ανάλυσης έδειξαν ότι το προτεινόμενο μοντέλο είχε πολύ καλή προσαρμογή στα εμπειρικά δεδομένα και στις τρεις μετρήσεις. Ακόμη, η δομή του μοντέλου βρέθηκε να είναι αμετάβλητη με την πάροδο του χρόνου. Το αποτέλεσμα αυτό επιβεβαιώνει τη δομή του προτεινόμενου μοντέλου και την καταλληλότητά του για να περιγράψει την κατανόηση των κλασμάτων και επιβεβαιώνει την υπόθεσή μας ότι ο επαγωγικός συλλογισμός, οι ορισμοί και οι μαθηματικές εξηγήσεις, η επιχειρηματολογία και η τεκμηρίωση, η αίσθηση για το μέγεθος των κλασμάτων, οι αναπαραστάσεις, οι διασυνδέσεις με τους δεκαδικούς, τα ποσοστά και τη διαίρεση και ο αναστοχασμός είναι παράγοντες που συνθέτουν την κατανόηση των κλασμάτων. Ακόμη, από τη διενέργεια της επιβεβαιωτικής παραγοντικής ανάλυσης βρέθηκε ότι όλοι οι παράγοντες είχαν σημαντική συνεισφορά στην κατανόηση των κλασμάτων με τις αναπαραστάσεις να είναι ο παράγοντας με τη μεγαλύτερη συνεισφορά. Επίσης, οι παράγοντες βρέθηκε να ερμηνεύουν ένα μεγάλο ποσοστό της διασποράς της κατανόησης των κλασμάτων, στοιχείο που φανερώνει ότι το προτεινόμενο θεωρητικό μοντέλο αποτελεί ένα αρκετά ολοκληρωμένο πλαίσιο περιγραφής της κατανόησης των κλασμάτων για τους μαθητές Στ΄ τάξης δημοτικού σχολείου. Αναφορικά με την εφαρμογή του παρεμβατικού προγράμματος, βρέθηκε ότι είχε θετική επίδραση στην κατανόηση των κλασμάτων στο σύνολο του δείγματος. Για την εξέταση της επίδρασής του στην ικανότητα των μαθητών στους παράγοντες, έγινε πρώτα ανάλυση latent class, από την οποία προέκυψε ότι μπορούσαν να δημιουργηθούν τρεις κατηγορίες (ομάδες) μαθητών με βάση την κατανόηση των κλασμάτων στην πρώτη μέτρηση: τους μαθητές με χαμηλή κατανόηση των κλασμάτων, τους μαθητές με μέτρια κατανόηση και εκείνους με ψηλή κατανόηση των κλασμάτων. (...)

The purpose of the present study was to develop and test a theoretical model with factors that constitute understanding of an elementary school mathematical concept. The factors that we consider to constitute understanding are: inductive reasoning, definitions and mathematical explanations, argumentation and justification, sense about the magnitude of fractions, representations, connections and reflection. In the present study, the concept of fractions was selected to test the proposed model. Additionally, in the present study we designed and implemented an intervention program aiming to teach the factors that constitute understanding of fractions in order to improve students’ abilities in those factors and fraction understanding. To fulfill the aims of the study, a research plan with the following stages was applied: (a) in the pilot phase, development and administration of the tests measuring the factors in a sample of 344 fifth and sixth grade students, (b) modification of the tests on the basis of the results of the pilot phase and administration in a sample of 349 sixth grade students (pre-test), (c) split of the sample of the main study to an experimental group (145 students) and control group (204 students) and application of the intervention only to the students of the experimental group, (d) administration of the two tests to all the sample immediately after the completion of the intervention (post-test), and (e) administration of the two tests three months after the completion of the intervention (retention-test). The results of the confirmatory factor analysis showed that the proposed model had a very good fit to the empirical data across the three measurements. Moreover, the structure of the model was found to be immutable over time. This result confirms the structure of the proposed model and its suitability to describe fraction understanding and confirms our hypothesis that inductive reasoning, definitions and mathematical explanations, argumentation and justification, sense about the magnitude of fractions, representations, connections of fractions with decimals, percentages and division and reflection are factors that constitute fraction understanding. Additionally, the confirmatory factor analysis revealed that all factors had significant contribution towards fraction understanding, with representations having the highest contribution. Also, the factors were found to account for a large percentage of the variance of fraction understanding. This result shows that the proposed theoretical model constitutes a comprehensive theoretical model of understanding of fractions for 6th grade primary school students. The application of the intervention program to the experimental group had positive effects and led to an improvement of fraction understanding of the whole sample. To examine the effect of the intervention to students’ ability in the factors, latent class analysis was first performed. Latent class analysis revealed three categories (groups) of students on the basis of fraction understanding in the pre-test: the first category consisted of students with low understanding of fractions, the second category of those with medium understanding of fractions, and the third category of those with high understanding of fractions. Afterwards, growth analysis was performed for each category of the control group and for each category of the experimental group separately.(...)