Transformational geometry ability, its relation to individual differences, and the impact of two interactive dynamic visualisations

Abstract

Ο σκοπός της εργασίας ήταν η ανάπτυξη ενός θεωρητικού μοντέλου για τη δομή κι εξέλιξη της ικανότητας στις έννοιες της γεωμετρίας των μετασχηματισμών, η εξέταση της σχέσης της με την αντίληψη των εννοιών του χώρου και το γνωστικό στυλ, και η διερεύνηση της επίδρασης δύο δυναμικών οπτικοποιήσεων στην ικανότητα στις έννοιες της γεωμετρίας των μετασχηματισμών και στην αντίληψη των εννοιών του χώρου. Στην έρευνα συμμετείχαν 507 μαθητές, στους οποίους χορηγήθηκαν εργαλεία για τη μέτρηση: (1) της ικανότητας στις έννοιες της γεωμετρίας των μετασχηματισμών, (2) της ικανότητας στην αντίληψη των εννοιών του χώρου, και (3) τριών διαστάσεων γνωστικού στυλ (εικονικών-χωρικών και λεκτικών αναπαραστάσεων). Ακολούθως, πραγματοποιήθηκαν κλινικές συνεντεύξεις με 40 μαθητές για τη διερεύνηση των αντιλήψεων και στρατηγικών των μαθητών που ομαδοποιήθηκαν σε διαφορετικά επίπεδα ικανότητας. Τέλος, 79 μαθητές συμμετείχαν στη διεξαγωγή εκπαιδευτικών παρεμβάσεων με δύο διαφορετικού τύπου οπτικοποιήσεις – διακριτές και συνεχείς. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα, η ικανότητα στις έννοιες της γεωμετρίας των μετασχηματισμών αποτελείται από τις ικανότητες: (α) στη μεταφορά, (β) στην ανάκλαση, και (γ) στην περιστροφή. Ο κάθε παράγοντας αποτελείται από τέσσερις όμοιες γνωστικές ικανότητες: (1) την αναγνώριση εικόνας, (2) την αναγνώριση μετασχηματισμού, (3) τον προσδιορισμό παραμέτρων, και (4) την κατασκευή εικόνας. Τα αποτελέσματα έδειξαν τη διάκριση τεσσάρων επιπέδων ικανότητας στις έννοιες της γεωμετρίας των μετασχηματισμών. Η ανάλυση των χαρακτηριστικών σε κάθε επίπεδο επικεντρώθηκε στις αντιλήψεις και στρατηγικές των ατόμων από γνωστική σκοπιά. Οι μαθητές του πρώτου επιπέδου είχαν χαμηλή επίδοση σε όλες τις έννοιες της γεωμετρίας των μετασχηματισμών. Ονομάσαμε το επίπεδο «ολιστική εικονική αντίληψη», γιατί το κύριο χαρακτηριστικό των μαθητών ήταν η αντίληψη της σχηματικής αναπαράστασης του γεωμετρικού μετασχηματισμού ως ολιστικό αντικείμενο, καθώς και η χρήση ολιστικών στρατηγικών. Οι μαθητές του δεύτερου επιπέδου είχαν ικανοποιητική επίδοση στην έννοια της μεταφοράς, και χαμηλή επίδοση στις έννοιες της ανάκλασης και περιστροφής. Ονομάσαμε το επίπεδο «κίνηση αντικειμένου», γιατί το κύριο χαρακτηριστικό ήταν η αντίληψη των γεωμετρικών μετασχηματισμών ως μια διαδικασία φυσικής κίνησης, με τη χρήση ολιστικών στρατηγικών. Οι μαθητές του τρίτου επιπέδου είχαν ικανοποιητική επίδοση σε όλες τις έννοιες της γεωμετρίας των μετασχηματισμών. Ονομάσαμε το επίπεδο «χαρτογράφηση αντικειμένου», γιατί το κύριο χαρακτηριστικό των μαθητών ήταν μια πιο αφηρημένη αντίληψη των γεωμετρικών μετασχηματισμών ως συνάρτηση που εφαρμόζεται σε συγκεκριμένα μέρη του σχήματος, και η χρήση συνδυασμού ολιστικών και αναλυτικών στρατηγικών. Οι μαθητές του τέταρτου επιπέδου είχαν ψηλή επίδοση σε όλες τις έννοιες της γεωμετρίας των μετασχηματισμών. Ονομάσαμε το επίπεδο «χαρτογράφηση επιπέδου», γιατί το κύριο χαρακτηριστικό ήταν η εννοιολογική αντίληψη των γεωμετρικών μετασχηματισμών ως χαρτογράφηση των σημείων του επιπέδου, με τη χρήση αναλυτικών στρατηγικών. Βρέθηκε ότι η ικανότητα στις έννοιες της γεωμετρίας των μετασχηματισμών και η ικανότητα αντίληψης των εννοιών του χώρου μπορούν να θεωρηθούν διακριτές διαστάσεις μιας ευρύτερης ικανότητας. Βρέθηκε επίσης αρνητική σχέση μεταξύ της ικανότητας στις έννοιες της γεωμετρίας των μετασχηματισμών και του λεκτικού γνωστικού στυλ. Τέλος, φάνηκε ότι η διδασκαλία με χρήση συνεχούς δυναμικής οπτικοποίησης, φέρει καλύτερα αποτελέσματα στην ικανότητα των μαθητών στις έννοιες της γεωμετρίας των μετασχηματισμών και στην ικανότητα αντίληψης των εννοιών του χώρου, ανεξάρτητα από την ικανότητας αντίληψης των εννοιών του χώρου και το γνωστικό στυλ των μαθητών.

The purpose of this study was to develop a theoretical model for the structure and development of ability in transformational geometry concepts, to examine its relation to spatial ability and cognitive style, and to investigate the impact of two interactive dynamic visualisations on transformational geometry ability and spatial ability. The participants were 507 students. They were administered: (1) one test for measuring ability in transformational geometry concepts, (2) one test for measuring spatial ability, and (3) a self-report questionnaire measuring cognitive style (object-spatial imagery, and verbal dimensions). Clinical interviews with 40 students were also conducted to investigate the conceptions and strategies of students at different levels of ability. Additionally, instructional interventions with two different types of interactive dynamic visualisations – discrete and continuous – were conducted with 79 students. Post-test measurements were obtained. The results suggested that ability in transformational geometry consists of: (a) translation ability, (b) reflection ability, and (c) rotation ability. Each of the three factors that refer to the abilities in transformational geometry concepts can be analysed into four similar cognitive factors: (i) recognition of image, (ii) recognition of transformation, (iii) identification of parameters, and (iv) construction of image. The results also showed the existence of four levels of ability in transformational geometry. The characteristics of the levels were analysed from a cognitive perspective of the individuals’ conceptions and strategies. Students of the first level had low abilities in all the transformational geometry concepts. Their main characteristic was the conception of the figures as holistic tangible objects, and the use of holistic strategies; thus we named the level “holistic image conception”. Students of the second level had average abilities in translation, and low abilities in reflection and rotation. Their main characteristic was their conception of geometric transformations as processes of physical motion that can be applied on geometrical figures as objects over a background, using holistic strategies; thus we named this level “motion of an object”. Students of the third level had average abilities in all the transformational geometry concepts. Their main characteristic was a more abstract conception of geometric transformations as functions that can be applied on the parts of a shape, and the use of combinations of holistic and analytic strategies; thus, we named this level “mapping of an object”. Students of the fourth level had high abilities in all transformational geometry concepts. Their main characteristic was a conceptual understanding of geometric transformations as mapping, and flexibility to decompose the images into points in the plane and apply analytic strategies; thus, we named this level “mapping of the plane”. Moreover, the results showed that ability in transformational geometry concepts and spatial ability can be considered as distinct dimensions of a more general ability. The results also indicated a negative relation between ability in transformational geometry and verbal cognitive style. Finally, the findings showed that teaching transformational geometry with the implementation of a continuous dynamic visualisation has more positive impact on ability in transformational geometry and spatial ability, regardless of individual differences in spatial ability and cognitive style.