Η έννοια της συνάρτησης : μετάβαση από το γυμνάσιο στο λύκειο : ένα θεωρητικό μοντέλο

Abstract

Η ικανότητα μετάφρασης από ένα σύστημα αναπαράστασης μιας έννοιας σε άλλο είναι ιδιαίτερα σημαντική για την επίλυση προβλήματος και γενικά για τη μάθηση των μαθηματικών εννοιών. Η παρούσα μελέτη ασχολείται με τη μελέτη των διαφόρων αναπαραστάσεων της έννοιας της συνάρτησης, λεκτική έκφραση, συμβολική παράσταση, γραφική παράσταση, αλγεβρική έκφραση, πίνακας τιμών και τη μετάφραση από τη μια αναπαράσταση στην άλλη και σε τέσσερις περιάγοντες όπως ο ορισμός, η ερμηνεία, η αναγνώριση, η προσέγγιση της συνάρτησης και η ικανότητα επίλυσης προβλημάτων. Εξετάζεται η έννοια της συνάρτησης σε σχέση με τους διάφορους τρόπους αναπαράστασής της και η μετάφραση από το ένα πεδίο αναπαράστασης στο άλλο. Μια βασική υπόθεση αφορά στο γεγονός ότι η κατανόηση μιας μαθηματικής έννοιας σχετίζεται με την ικανότητα αναγνώρισης, ερμηνείας και προσέγγισης της έννοιας, όταν αυτή παρουσιάζεται με μια ποικιλία σημειωτικών αναπαραστάσεων και την ικανότητα μετάφρασης της έννοιας από το ένα πεδίο αναπαράστασης στο άλλο. Συγκεκριμένα, εξετάζεται η σχέση που υπάρχει ανάμεσα στην επιτυχία σε έργα άμεσης μετάφρασης και την επιτυχία στην επίλυση προβλημάτων, τα οποία απαιτούν τη μετάφραση ανάμεσα στα διάφορα συστήματα αναπαράστασης της έννοιας της συνάρτησης. Η κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης προϋποθέτει την ικανότητα αναγνώρισης της έννοιας, όταν αυτή παρουσιάζεται με μια ποικιλία εξωτερικών/σημειωτικών αναπαραστάσεων και την ικανότητα μετάφρασης της έννοιας από το ένα πεδίο έκφρασης στο άλλο (Lesh, Post, & Behr, 1987). Οι βασικοί στόχοι της παρούσας εργασίας εστιάζονται στη γνωστική δομή της εννοιολογικής κατανόησης, στις ομοιότητες και διαφορές της έννοιας της συνάρτησης στο Γυμνάσου και στο Λύκειο, στις σχέσεις μεταξύ του ορισμού, της ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων (αναγνώριση, μετάφραση, χειρισμός) και της λύσης προβλήματος αναφορικά με την έννοια της συνάρτησης. Θα εξεταστούν οι σχέσεις των παραγόντων της ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων (αναγνώριση, μετάφραση, χειρισμός) και της ικανότητας λύσης προβλήματος, οι διαφορές στην επίδοση των μαθητών της Α’ και Β΄ Λυκείου όσον αφορά στην επίλυση έργων σχετικών με την έννοια της συνάρτησης και ο βαθμός που σχετίζεται η ηλικία των μαθητών με την ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων και την ικανότητα λύσης προβλήματος με διαφορετικά πεδία αναπαράστασης και κατά πόσο είναι δυνατός ο καθορισμός ιεραρχικών επιπέδων ανάπτυξης της ευελιξίας χρήσης των πολλαπλών αναπαραστάσεων όσον αφορά την έννοια της συνάρτησης. Δόθηκαν δύο δοκίμια σε μαθητές τριών τάξεων μέσης εκπαίδευσης σε σχολεία της Κύπρου. Τα Δοκίμια Α και Β περιλαμβάνουν έργα άμεσης μετάφρασης από μια αναπαράσταση σε άλλη. Με βάση τα αποτελέσματα φαίνεται ότι οι μαθητές αντιμετωπίζουν δυσκολίες στην αναγνώριση στοιχειωδών συναρτήσεων, όταν αυτές παρουσιάζονται με διαφορετικές εξωτερικές αναπαραστάσεις. Επιπρόσθετα, φαίνεται ότι υπάρχει σχέση ανάμεσα στην ικανότητα άμεσης μετάφρασης και στην ικανότητα επίλυσης προβλήματος. Το γεγονός αυτό δηλώνει ότι η ικανότητα μετάφρασης πρέπει να συγκαταλέγεται στους παράγοντες, που επηρεάζουν τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος.

The translation ability from a representation system of a concept to another may be very important for problem solving and in general on learning mathematical concepts. This study concerned with the study of the different representations of the concept of the function, verbal expression, symbolic representation, graph, algebraic expression, table of values and translation from one representation to another, and in four factors such as the definition, interpretation, recognition the function approach and the ability to solve problems. Addresses the meaning of the function in relation to representations of various ways and the translation from one field to another representation. A basic assumption relates to the fact that the understanding of a mathematical concept related to the ability to recognize, interpret and approach of the concept, when presented with a variety of semiotic representations and the concept of translation ability to from one representation to another field. In particular, it examines the relationship between success in direct translation tasks and success in solving problems that require translation between the different systems of representation of the concept of the function. Understanding the concept of the function requires the recognition of the concept, when presented with a variety of external/semiotic representations and ability translation of the concept from one field to another expression (Lesh, Post, & Behr, 1987). The main aims of this thesis are focused on cognitive structure of the conceptual understanding on the similarities and differences of the concept of function in Gymnasium and High School, in relations between the definition of flexibility on use of multiple representations (recognition, translation, and handling) and the problem solving regarding the concept of the function. We will examine the relationship of factors of the flexibility on use of multiple representations (recognition, translation, handling) and the problem solving ability, the difference in the performance of students in the first and second class in high school in terms of solving tasks on the concept of the function and the level of relating the age of the students with the flexibility on use of multiple representations and problem solving ability to with different fields of representation and whether it is possible to define hierarchies growth of flexible use of multiple representations of the concept of the function. Given two essays on a three-class of secondary education students in Cyprus schools. The test A and B include direct translation tasks from a representation to another. Based on the results it seems that students encounter difficulties in recognition of elementary functions when they are presented with different external representations. Additionally, it seems that there is a relationship between the direct translation ability to and the ability to problem solving. This indicates that the translation ability to should be one of the factors that influence the problem solving.