Η διδασκαλία του ορίου - ένα θεωρητικό μοντέλο

Abstract

Σκοπός της παρούσας εργασίας ήταν η ανάπτυξη ενός θεωρητικού μοντέλου το οποίο περιγράφει τον τρόπο σκέψης των μαθητών για την έννοια του ορίου συνάρτησης. Το μοντέλο βασίστηκε στο μοντέλο της Sierpinska κ. α. (2002) και εμπλουτίστηκε με τα χαρακτηριστικά του τρόπου σκέψης και των διαδικασιών που χρησιμοποιούν οι μαθητές για την κατανόηση πολύπλοκων εννοιών, όπως αναφέρονται σε διάφορες τοπικές θεωρίες των μαθηματικών, όπως η θεωρία APOS, η θεωρία των Tall και των συνεργατών του (2004), η θεωρία της εννοιολογικής αλλαγής (Vosniadou, & Vamvakoussi, 2004) και η θεωρία της πραγμάτωσης (Reification Theory) της Sfard (1991) . Η έρευνα αποσκοπούσε επίσης στην επίδραση της τεχνολογίας στην ανάπτυξη της θεωρητικής σκέψης των μαθητών της Β′ Λυκείου για την έννοια του ορίου, στην ύπαρξη διακριτών ομάδων μαθητών οι οποίες αντιπροσωπεύουν τα διαφορετικά είδη θεωρητικής σκέψης και στην ερμηνεία του συλλογισμού των μαθητών σε έργα υπολογισμού του ορίου συνάρτησης με βάση τα είδη σκέψης που προέκυψαν από το μοντέλο. Για το σκοπό αυτό αναπτύχθηκε και αξιολογήθηκε παρεμβατικό πρόγραμμα διδασκαλίας της έννοιας του ορίου με την ενσωμάτωση της τεχνολογίας. Η έρευνα στηρίχθηκε και σχεδιάστηκε με βάση την κυκλική δομή ανάπτυξης ερευνών. Συνολικά σχεδιάστηκαν τρεις ερευνητικοί κύκλοι. Στον πρώτο κύκλο συμμετείχαν 52 μαθητές, οι 15 μαθητές αποτελούσαν την πειραματική ομάδα και οι 37 μαθητές την ομάδα ελέγχου και εφαρμόστηκε παρεμβατική διδασκαλία (10 μαθήματα των 45 λεπτών). Στην πειραματική ομάδα χρησιμοποιήσαμε μαθηματικά εφαρμογίδια, ενώ στην ομάδα ελέγχου οι μαθητές εργάστηκαν στις ίδιες δραστηριότητες με την πειραματική ομάδα, με την διαφορά ότι οι δραστηριότητες ήταν προσαρμοσμένες σε περιβάλλον παραδοσιακής διδασκαλίας. Στο δεύτερο κύκλο συμμετείχαν 225 μαθητές, οι 35 αποτελούσαν την πειραματική ομάδα και οι 190 την ομάδα ελέγχου και εφαρμόστηκε παρεμβατική διδασκαλία (10 μαθήματα των 45 λεπτών). Στην πειραματική ομάδα χρησιμοποιήθηκαν μαθηματικά εφαρμογίδια αλλά διαφοροποιήθηκε η διδακτική προσέγγιση μετά από την πρώτη εφαρμογή κατά τον πρώτο κύκλο διεξαγωγής της έρευνας. Στην ομάδα ελέγχου δεν χρησιμοποιήθηκαν οι ίδιες δραστηριότητες με αυτές της πειραματικής ομάδας, όπως είχε γίνει στον πρώτο κύκλο. Στον τρίτο κύκλο συμμετείχαν 42 μαθητές οι οποίοι αποτελούσαν την πειραματική ομάδα και εφαρμόστηκε παρεμβατική διδασκαλία (7 μαθήματα των 45 λεπτών). Οι δραστηριότητες του τρίτου παρεμβατικού προγράμματος διδασκαλίας ήταν διαφορετικές από αυτές που χρησιμοποιήθηκαν στους δύο πρώτους κύκλους διεξαγωγής της έρευνας. Η παρέμβαση περιορίστηκε στη μελέτη του ορίου συνάρτησης όταν το τείνει σε αριθμό. Σε κάθε κύκλο χορηγήθηκε δοκίμιο αξιολόγησης πριν από και μετά την παρεμβατική διδασκαλία. Στον τρίτο κύκλο μετά την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων πραγματοποιήθηκαν κλινικές συνεντεύξεις. Τα δεδομένα που συλλέχθηκαν αναλύθηκαν με εξειδικευμένες στατιστικές αναλύσεις. Τα αποτελέσματα της επιβεβαιωτικής παραγοντικής ανάλυσης, η οποία πραγματοποιήθηκε στο δεύτερο κύκλο διεξαγωγής της έρευνας, έδειξαν ότι το προτεινόμενο μοντέλο παρέχει ένα ολοκληρωμένο πλαίσιο περιγραφής της κατανόησης της έννοιας του ορίου συνάρτησης. Η επιβεβαίωση του μοντέλου δίνει τη δυνατότητα ανάλυσης της θεωρητικής σκέψης των μαθητών για την έννοια του ορίου συνάρτησης σε δύο μετρήσιμους παράγοντες, την αναλυτική – συστημική σκέψη και την αναστοχαστική σκέψη, με την αναλυτική – συστημική σκέψη να επηρεάζει περισσότερο την θεωρητική σκέψη των μαθητών για την έννοια του ορίου συνάρτησης. Εντοπίστηκαν τρεις κατηγορίες μαθητών, οι μαθητές της πρώτης κατηγορίας οι οποίοι είχαν χαμηλές επιδόσεις στα έργα και των δύο παραγόντων του μοντέλου ανάπτυξης της θεωρητικής σκέψης των μαθητών για την έννοια του ορίου συνάρτησης. Οι μαθητές της δεύτερης κατηγορίας είχαν μεσαίες επιδόσεις στα έργα του παράγοντα αναλυτική – συστημική σκέψη, αλλά όμως χαμηλές επιδόσεις στα έργα του παράγοντα αναστοχαστική σκέψη. Στην τρίτη κατηγορία συναντούμε τους μαθητές με τις ψηλότερες επιδόσεις στα έργα του παράγοντα αναλυτική – συστημική σκέψη. Οι επιδόσεις τους στα έργα του παράγοντα αναστοχαστική σκέψη είναι ελαφρώς καλύτερες από τις επιδόσεις τους στις δύο πρώτες κατηγορίες. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι η ομάδα των μαθητών που παρακολούθησε το παρεμβατικό πρόγραμμα διδασκαλίας, κατά την διάρκεια του δεύτερου κύκλου διεξαγωγής της έρευνας, είχε σαφώς καλύτερα αποτελέσματα και στους δύο παράγοντες του μοντέλου ανάπτυξης της θεωρητικής σκέψης για την έννοια του ορίου συνάρτησης. Οι καλύτερες επιδόσεις των μαθητών ειδικά στα έργα του παράγοντα αναλυτική – συστημική σκέψη, φαίνεται να οφείλεται στη χρήση της τεχνολογίας κατά την διάρκεια του παρεμβατικού προγράμματος διδασκαλίας. Αυτό επιβεβαιώνει τον ισχυρισμό ότι η τεχνολογία έχει θετική επίδραση στη διδασκαλία και μάθηση μαθηματικών εννοιών.

The purpose of this study was to develop a theoretical model describing the theoretical thinking of students about the limit concept. The model was based on Sierpinska’s et. al. (2002) model and enriched with the characteristics of thinking and procedures used by the students to understand complex concepts, as reported in various local theories. The research study also aimed to verify the effect of technology in the development of theoretical thinking of students on the limit concept. The existence of distinct groups of students was also explored. Each group of students was hypothesized to represent different kinds of theoretical, based on the kinds of thinking that emerged from students’ work on tasks that involved the limit of functions. The study was conducted in three cycles. The first cycle involved 52 students, 15 students were involved in the experimental group and 37 students in the control group. The students in the experimental group attended a teaching program on the limit concept consisting of 10 lessons. In the second cycle 225 students were involved, 35 in the experimental group and 190 in the control group. The students in the experimental group also attended a new teaching program consisting of 10 lessons. The new teaching program differs from the previous one, in the teaching approaches used in integrating the technology for the teaching on the limit concept. In the third cycle 42 students were involved. All of them were involved in the experimental group. They attended a teaching program on the limit concept consisting of 7 lessons. The teaching program was modified accordingly in such a way to study the limit concept, including the approach of limit as an independed variable of a function approaches a real number. A pretest and a posttest were administered to the students before and after the intervention program in all three cycles of the study. In the third circle interviews were conducted after the analysis of the data collected. The results of the confirmatory factor analysis, as it was conducted during the second cycle, showed that the theoretical proposed model provided a comprehensive framework describing the understanding of the limit concept. The confirmation of the model provided the basis for the examination of the theoretical thinking of students in two measurable factors, the analytical - systemic thinking and the reflective thinking. The analytical - systemic thinking was more influential on the way that students perceive the theoretical aspects of the limit concept. Specifically, the results showed that the group of students attended the intervention program had significantly better results in both factors of the model of theoretical thinking, the analytic – systemic one and the reflective. Furthermore the results showed that the integration of technology in the intervention program enhanced the theoretical understanding of students.