Bootstrap approaches for locally stationary processes

Abstract

Η παρούσα διατριβή έχει δύο κυρίως σκοπούς: 1) Να αναπτύξει μια μέθοδο αναδειγματοληψίας που να δημιουργεί ψευτοπραγματώσεις του τοπικού περιοδογράμματος μιας τοπικά στάσιμης στοχαστικής ανέλιξης. 2) Να προταθεί ένας έλεγχος της υπόθεσης ότι η χρονικά μεταβαλλόμενη φασματική πυκνότητα έχει μια παραμετρική ή ημιπαραμετρική δομή. Ο έλεγχος μπορεί να εφαρμοστεί και σε χρονικά μεταβαλλόμενες ανελίξεις αυτοπαλινδρόμισης. Η μέθοδος αναδειγματοληψίας που προτείνεται δημιουργεί ψευδοαντίγραφα του τοπικού περιοδογράμματος και συνδυάζει μια παραμετρική προσέγγιση στο χρόνο με μια απαραμετρική προσέγγιση φάσματος. Εφαρμόζουμε πρώτα τοπικά ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μοντέλο αυτοπαλινδρόμισης ώστε να περιγράψουμε τα βασικά χαρακτηριστικά της ανέλιξης. Ένας τοπικά υπολογισμένος, μη παραμετρικός διορθωτής στο φασματικό πεδίο χρησιμοποιείται μετά για να βελτιωθεί η παραμετρική αυτοπαλινδρόμιση. Διερευνούμε τις ασυμπτωτικές ιδιότητες της μεθόδου στις οικογένειες των τοπικών φασματικών μέσων και των τοπικών στατιστικών πηλίκο. Προσομοιώσεις εξετάζουν τη δυνατότητα της μεθόδου να δίνει καλούς εκτιμητές των ποσοτήτων που μας ενδιαφέρουν. Η ανάλυση ολοκληρώνεται με την παρουσίαση και εφαρμογή της μεθόδου σε πραγματικά δεδομένα. Ο έλεγχος υποθέσεων που προτείνεται, βασίζεται στην απόσταση L2 του σταθμισμένου τοπικού περιοδογράμματος από την αναμενόμενη τιμή του κάτω από τη μηδενική υπόθεση. Η ασυμπτωτική κατανομή της ελεγχοσυνάρτησης που προτείνεται έχει υπολογιστεί κάτω από τη μηδενική υπόθεση για μια μεγάλη οικογένεια ημιπαραμετρικών μοντέλων τοπικά στάσιμων στοχαστικών ανελίξεων. Γίνεται ανάλυση του ελέγχου της ύπαρξης μιας χρονικά μεταβαλλόμενης αυτοπαλινδρόμισης. Για την καλύτερη προσέγγιση της κατανομής της ελεγχοσυνάρτησης κάτω από τη μηδενική υπόθεση προτείνεται μια μέθοδος αναδειγματοληψίας και αποδεικνύεται ότι αυτή οδηγεί στα σωστά αποτελέσματα. Προσομοιώσεις παρουσιάζουν την αποτελεσματικότητα της μεθοδολογίας αναδειγματοληψίας και την αποδοτικότητα του ελέγχου.

The aim of this thesis is twofold: 1) To develop a method to bootstrap the local periodogram of a locally stationary process and 2) To propose a test of the hypothesis that the time varying spectral density of a locally stationary process has a semiparametric structure including that of the time varying autoregressive moving average model. The bootstrap method proposed generates pseudo local periodogram ordinates by combining a parametric time and non-parametric frequency domain bootstrap approach. We first fit locally a time varying autoregressive model in order to capture the essential characteristics of the underlying process. A locally calculated non-parametric correction is then used in order to improve upon the locally parametric autoregressive fit. We investigate the asymptotic properties of the bootstrap method proposed applied to the class of local spectral means and local ratio statistics. Some simulations demonstrate the ability of our method to give accurate estimates of the quantities of interest and an application to an earthquake data set is presented. Concerning the test introduced, it is based on the L2-distance of a kernel smoothed version of the local periodogram rescaled by the estimated semiparametric, time varying spectral density. The asymptotic distribution of the test statistic proposed is derived under the null hypothesis. We consider the problem of testing the presence of a time-varying autoregressive structure. A bootstrap procedure is proposed and theoretically justified. Some simulations illustrate that the bootstrap provides a considerably better approximation of the distribution of the test statistic under the null hypothesis than the normal approximation.