Topics in geometric function theory and harmonic analysis

Abstract

Στην παρούσα διατριβή μελετώνται διάφορα προβλήματα της Γεωμετρικής Θεωρίας Συναρτήσεων και της Αρμονικής Ανάλυσης. Στο πρώτο κεφάλαιο αποδεικνύεται νέα επέκταση της ανισότητας ημιτόνου του Vietoris. Το ίδιο κεφάλαιο περιέχει μια επέκταση μιας στοιχειώδους ανισότητας της Αρμονικής Ανάλυσης. Στο δεύτερο κεφάλαιο αποδεικνύονται διάφορες ειδικές περιπτώσεις μιας εικασίας των Κουμάντου και Ruscheweyh αναφορικά με την απεικονισματική συμπεριφορά των μερικών αθροισμάτων των αστεροειδών συναρτήσεων. Το κύριο αποτέλεσμα που παρουσιάζεται εδώ είναι η απόδειξη του γεγονότος ότι το πρόβλημα απεικόνισης είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα θετικότητας για τριγωνομετρικά αθροίσματα. Στο τρίτο κεφάλαιο ανακαλύπτεται μια νέα οικογένεια πλήρως μονότονων ειδικών συναρτήσεων. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται ορισμένα νέα αποτελέσματα που αφορούν τα περίφημα πολυώνυμα του Suffridge. Ειδικότερα, δίνεται αρνητική απάντηση σε ένα ερώτημα του το οποίο ήταν ανοικτό (αναπάντητο) για πολλά χρόνια. Το πέμπτο κεφάλαιο περιέχει λύση σε ένα πρόβλημα που τέθηκε από τον Sugawa και τους συνεργάτες του και αφορά το σύνολο των αστεροειδών συναρτήσεων στο χώρο του Hornich, όπως επίσης και την απόδειξη μιας νέας ιδιότητας μέσης τιμής για αστεροειδείς συναρτήσεις.

In the thesis several problems in geometric function theory and harmonic analysis are considered. In the first chapter a refinement of Vietoris’ sine inequality is proven. The chapter also contains an extension of an elementary inequality from harmonic analysis. The second chapter deals with a conjecture of Koumandos and Ruscheweyh concerning the mapping behavior of partial sums of starlike functions. The main result presented here shows that this mapping problem is in fact equivalent to a positivity problem for trigonometric sums. In the third chapter a new family of completely monotonic functions is investigated. In the fourth chapter some new results concerning the famous Suffridge polynomials are presented. In particular, a long-standing open question of Suffridge is answered to the negative. The fifth chapter gives an answer to a question posed by Sugawa et al. concerning the set of starlike functions in the Hornich space; it also contains the proof of a new mean value property of starlike functions.