Symmetry methods for higher-order evolution equations

Abstract

Οι μεθόδοι συμμετριων Lie ίσως να αποτελούν το πιο δυνατό διαθέσιμο εργαλείο στην επίλυση μη-γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Με κίνητρο τα γνωστά αποτελέσματα της δεύτερης τάξης μη-γραμμικής εξίσωσης της διάχυσης, εξάγουμε αποτελέσματα σε συγκεκριμένες εξισώσεις εξέλιξης. Παρουσιάζουμε αποτελέσματα για μία αλυσίδα εξισώσεων τρίτης, τέταρτης, πέμπτης και έκτης τάξης. Επίσης δίνουμε αποτελέσματα για δύο γενικευμένες εξισώσεις εξελιξης τρίτης και τέταρτης τάξης και μία κατηγορία εξισώσεων διασποράς τρίτης τάξης. Τέλος, δίνοται αποτελέσματα για μια γενικεύμενη εξίσωση τρίτης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές. Εξάγονται ισοδύναμοι μετασχηματισμοί, συμμετρίες Lie, μη-κλασικές συμμετρίες, δυναμικές συμμετρίες και μη-κλασικές δυναμικές συμμετριες. Aπό τις συμμετρίες προκύπτουν μετασχηματισμοί οι οποίοι υποβιβάζουν τις μερικές διαφορικές εξισώσεις σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Με αυτόν το τρόπο εξάγουμε συγκεκριμένες λύσεις των εξισώσεων που μελετούμε.

Lie group methods are perhaps the most powerful tool currently available in finding exact solutions of nonlinear partial differentiαl equations. Our motivation was the known results of the second-order nonlinear diffusion equation. We derive results for certain forms of nonlinear evolution equations. Namely, we present results for a chain of third-, fourth-, fifth- and sixth-order equations. Also we give the results for a third- and a fourth- order generalised evolution equations and a class of dispersive equations of a third-order. Finally, we give the results for a third-order generalised equation with variable coefficients. We present equivalence transformations, Lie symmetries, nonclassical symmetries, potential symmetries and nonclassical potential symmetries. From symmetries we can derive reductions that reduce the partial differential equations to ordinary differential equations. That way we can extract solutions for the equations being studied.