Statistical theory for mixed poisson time series models

Abstract

Σκοπός αυτής της εργασίας είναι η στατιστική ανάλυση μικτών Poisson μοντέλων χρονοσειρών, τα οποία λαμβάνουν ακέραιες τιμές. Η αναγκαιότητα μιας τέτοιας μελέτης προκύπτει από το γεγονός ότι οι ακέραιες εξαρτημένες ακολουθίες, οι οποίες εμφανίζονται σε πολλά επιστημονικά πεδία όπως η ιατρική, η μελέτη του περιβάλλοντος ή οι οικονομικές εφαρμογές, πολύ συχνά αντιμετωπίζουν το φαινόμενο της υπερδιακύμανσης, δηλαδή η δειγματική διασπορά της συλλογής δεδομένων είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη μέση τιμή. Ειδικότερα, μελετούμε συμπερασματολογία για μοντέλα παλινδρόμησης ακέραιων χρονοσειρών, τα οποία περιλαμβάνουν ένα μηχανισμό ανάδρασης. Μελετούμε πιθανοθεωρητικές ιδιότητες και εκτίμηση μέσω της ημιπιθανοφάνειας για αυτή την κλάση διαδικασιών. Αποδεικνύουμε ότι οι προκύπτουσες εκτιμήτριες είναι συνεπείς και ασυμπτωτικά κανονικά κατανεμημένες. Η βασική παρατήρηση στην ανάπτυξη της θεωρίας είναι η κατάλληλα παραμετροποιημένη μορφή της μέσης τιμής της μικτής Poisson διαδικασίας. Επιπλέον, χρησιμοποιούμε διάφορα κριτήρια για να μελετήσουμε το πρόβλημα της πρόβλεψης. Ειδικότερα, παρέχουμε πιθανοθεωρητικές προβλέψεις βασιζόμενες στην υπόθεση της Poisson ή της αρνητικής διωνυμικής κατανομής, οι οποίες εμπίπτουν στο πλαίσιο των μικτών Poisson διαδικασιών και προτείνουμε τη χρήση του ιστογράμματος μετασχηματισμού πιθανότητας, της καμπύλης περιθωριακής βαθμονόμησης και των κανόνων scoring για να αξιολογήσουμε την απόδοση πρόβλεψης και να κατατάξουμε τα ανταγωνιστικά μοντέλα πρόβλεψης. Στο τελευταίο μέρος αυτής της εργασίας συζητούμε το πρόβλημα ελέγχου γραμμικότητας στο πλαίσιο αυτών των μοντέλων. Χρησιμοποιούμε την ελεγχοσυνάρτηση score, κατάλληλα προσαρμοσμένη, αφού βασίζεται στην ημιπιθανοφάνεια. Η μεθοδολογία μας καλύπτει και τις δύο περιπτώσεις όπου οι παράμετροι είναι προσδιορίσιμες ή μη, κάτω από τη μηδενική υπόθεση.

The goal of this thesis is the statistical analysis of mixed Poisson count time series models. The necessity for such an investigation arises from the fact that count dependent sequences, which appear in several scientific fields like medical, environmental or financial applications, they often face the phenomenon of overdispersion, that is the sample variance of the data collection is larger than the corresponding mean. In particular, we study inference for count time series regression models which include a feedback mechanism. We study probabilistic properties and quasi-likelihood estimation for this class of processes. We show that the resulting estimators are consistent and asymptotically normally distributed. The key observation in developing the theory is a mean parameterized form of the mixed Poisson process. In addition, we employ different criteria to study the prediction problem. In particular, we provide probabilistic forecasts based on the assumption of Poisson or negative binomial distribution, which they fall within the framework of mixed Poisson processes and we propose the use of Probability Integral Transformation (PIT) histogram, marginal calibration plot and scoring rules to assess the predictive performance and rank the competing forecast models. In the last part of this thesis we discuss the testing problem for linearity in the context of such models. We employ the score test, suitably adjusted, as it is based on a quasi-likelihood function. Our methodology covers both cases where parameters can be identifiable or non identifiable under the null.