Problems on higher and lower dimensional dynamical systems

Abstract

Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή μελετούμε προβλήματα από την περιοχή των δυναμικών συστημάτων. Πιο συγκεκριμένα μελετούμε δυναμικά συστήματα υψηλοτέρων και χαμηλότερων διαστάσεων. Για να το κάνουμε αυτό χωρίζουμε τη διδακτορική διατριβή σε δύο μέρη. Γενικά, στο πρώτο μέρος, μελετούμε προβλήματα τα οποία είναι αντικείμενο των μερικών διαφορικών εξισώσεων, και τα οποία ανήκουν στην περιοχή των δυναμικών συστημάτων υψηλοτέρων διαστάσεων. Στην περίπτωση μας, τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν ειδικές περιπτώσεις απειροδιάστατων δυναμικών συστημάτων με διάχυση. Στο δεύτερο μέρος, γενικά, μελετούμε ένα πρόβλημα το οποίο είναι αντικείμενο των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, και το οποίο ανήκει στην περιοχή των δυναμικών συστημάτων χαμηλότερων διαστάσεων. Αυτή την φορά περιοριζόμαστε σε ειδικές περιπτώσεις του δευτέρου μέρους του 16ου προβλήματος του Hilbert. Για το πρώτο μέρος της διδακτορικής διατριβής συγκεκριμένοι ερευνητικοί σκοποί είναι η αναλυτική εξέταση της αναλυτικότητας των λύσεων για: συστήματα διάχυσης-διασποράς, μία οικογένεια μη γραμμικών εξελικτικών ψευδοδιαφορικών εξισώσεων στη μία χωρική διάσταση, και μία οικογένεια μη γραμμικών εξελικτικών ψευδοδιαφορικών εξισώσεων στις δύο χωρικές διαστάσεις. Για το πρώτο πρόβλημα όπως προηγουμένως χρησιμοποιούμε μία μέθοδο ημιομάδων, σε αντίθεση με τα δύο τελευταία προβλήματα στα οποία χρησιμοποιούμε μία φασματική μέθοδο. Πρώτα μελετούμε τις αναλυτικές ιδιότητες των λύσεων εξισώσεων τύπου Kuramoto-Sivashinsky και άλλων σχετικών συστημάτων, με περιοδικές αρχικές συνθήκες. Για να το κάνουμε αυτό, εξετάζουμε κατά πόσο η μέθοδος ημιομάδων, η οποία αναπτύχθηκε από τους Collet et al. μπορεί να εφαρμοστεί και σε συστήματα διάχυσης-διασποράς. Διαπιστώνουμε ότι η μέθοδος αυτή δουλεύει και για τέτοια συστήματα, και αποδεικνύουμε ότι οι λύσεις τους είναι αναλυτικές ως προς τη χωρική μεταβλητή σε μία λωρίδα γύρω από την ευθεία των πραγματικών αριθμών. Επιπλέον δίνεται ένα κάτω φράγμα για το πλάτος της λωρίδας αναλυτικότητας για καθένα από τα συστήματα που μελετούμε. Στην συνέχεια μελετούμε τις αναλυτικές ιδιότητες των λύσεων για μία οικογένεια μη γραμμικών εξελικτικών ψευδοδιαφορικών εξισώσεων στη μία χωρική διάσταση, που έχουν ολικούς ελκυστές. Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε ένα κριτήριο αναλυτικότητας για περιοδικές συναρτήσεις ως προς τη χωρική μεταβλητή, το οποίο περιλαμβάνει το ρυθμό αύξησης κατάλληλης νόρμας των νιοστής τάξεως παραγώγους της λύσης, ως προς τη χωρική μεταβλητή, καθώς το ν τείνει στο άπειρο. Χρησιμοποιώντας αυτό το κριτήριο και τη φασματική μέθοδο που αναπτύχθηκε από τους Ακρίβης et al. βελτιώνουμε αποτελέσματα που εμφανίζονται σε παλιότερη εργασία. Τέλος μελετούμε τις αναλυτικές ιδιότητες των λύσεων για μία οικογένεια μη γραμμικών εξελικτικών ψευδοδιαφορικών εξισώσεων στις δύο χωρικές διαστάσεις. Για να το κάνουμε αυτό, εξετάζουμε κατά πόσο η φασματική μέθοδος, η οποία αναπτύχθηκε στο Ακρίβης et al μπορεί να εφαρμοστεί και σε συστήματα με δύο χωρικές μεταβλητές. Εισάγουμε ένα κριτήριο, το οποίο παρέχει μια ικανή συνθήκη για την αναλυτικότητα περιοδικών και απείρως διαφορισήμων συναρτήσεων το οποίο περιλαμβάνει το ρυθμό αύξησης κατάλληλης νόρμας κατάλληλου τελεστή τους καθώς η τάξη του τείνει στο άπειρο. Αυτό το κριτήριο μας επιτρέπει να αποδείξουμε αναλυτικότητα των λύσεων ως προς τις χωρικές μεταβλητές για διάφορα συστήματα με δύο χωρικές μεταβλητές. Σχετικά με τα δυναμικά συστήματα χαμηλότερων διαστάσεων μελετούμε δύο προβλήματα σχετικά με το 16ο πρόβλημα του Hilbert για δύο συστήματα διαφορικών εξισώσεων που αποτελούν γενίκευση της εξίσωσης του Βαν ντερ Πολ. Πιο συγκεκριμένα μελετούμε τη διακλάδωση των οριακών κύκλων από τον γραμμικό αρμονικό ταλαντωτή στις δύο αυτές γενικεύσεις. Βρίσκουμε το ακριβές άνω φράγμα του αριθμού των οριακών κύκλων και στα δύο συστήματα. Επίσης μελετούμε τη σχέση των θέσεων των οριακών κύκλων που παρουσιάζουν αυτά τα συστήματα.

In this thesis, we study some problems from the area of dynamical systems. In order to do this we separate the current thesis in two parts. In general, in Part I, we study problems which are a subject of partial differential equations, and which belong to the area of higher dimensional dynamical systems. In our case, such problems include special cases of infinite-dimensional dissipative dynamical systems. In Part II, in general, we study a problem which is a subject of ordinary differential equations, and which belongs to the area of lower dimensional dynamical systems. At this time we restrict ourselves to special cases of the second part of Hilbert’s 16th problem. Specific research goals for the Part I of the thesis is the analytical investigation of the analyticity of the solutions for dissipative-dispersive systems and two classes of non-linear evolutionary pseudo-differential equations in one spatial dimension and in two spatial dimensions. For the first problem as above we use semigroup methods, instead of the rest two problems in which the methods is spectral. First we study the analyticity properties of solutions of Kuramoto-Sivashinsky type equations and related systems, with periodic initial data. In order to do this, we explore the applicability of the semigroup method, which was developed in Collet et al. So, we prove that the solutions of a variety of dissipative-dispersive systems, which possess a global attractor, are analytic with respect to the spatial variable in a strip around the real axis. Furthermore, a lower bound for the width of the strip of analyticity is obtained for each of these systems. After we study the analyticity properties of solutions for a class of non-linear evolutionary pseudo-differential equations possessing global attractors. In order to do this, we utilize an analyticity criterion for spatially periodic functions, which involves the rate of growth of a suitable norm of the nth derivative of the solution, with respect to the spatial variable, as n tends to infinity. Using this criterion and the spectral method developed in Akrivis et al. we have improved previous results which appear in previous work. Finally we study the analyticity properties of solutions of Kuramoto-Sivashinsky type equations in two spatial dimensions, with periodic initial data. In order to do this we expore the applicability of the spectral method developed in Akrivis et al, in three-dimensional models. We introduce a criterion, which provides a sufficient condition for analyticity of a periodic function u in C∞, involving the rate of growth of suitable operator, in suitable norms, as its degree tends to infinity. This criterion allows us to establish spatial analyticity for the solutions of a variety of systems in two spatial dimensions. On lower dimensional dynamical systems we study a problem related to the Hilbert’s 16th problem for two families of differential equations. More specifically, we study the bifurcation of limit cycles from the linear harmonic oscillator inside these families which constitute generalizations of the Van der Pol equation. We obtain the exact upper bound for the number of limit cycles for these two systems. We also investigate the relative positions of the limit cycles for the differential systems we discussed.