On poiseuille flows of yield stress fluids with wall slip

Abstract

Τα ιξωδοπλαστικά υλικά συμπεριφέρονται σαν ρευστά ή σαν στερεά αν η τάση είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από την τάση διαρροής (yield stress), αντίστοιχα. Ο προσδιορισμός των περιοχών διαρροής και μη διαρροής, που δεν είναι γνωστές εξαρχής, οδηγεί σε αριθμητικές δυσκολίες στην επίλυση ιξωδοπλαστικών ροών. Είναι επίσης γνωστό ότι σε αυτές τις ροές παρατηρείται ολίσθηση στα τοιχώματα για τιμές της διατμητικής τάσης μεγαλύτερες μιας κρίσιμης τιμής, της λεγόμενης τάσης διολίσθησης (slip yield stress). Για μη μηδενική τάση διολίσθησης, η εξίσωση ολίσθησης είναι ασυνεχής γεγονός που προκαλεί δυσκολίες ανάλογες με εκείνες που συναντώνται σε ροές με ασυνεχείς καταστατικές εξισώσεις. Ο κύριος στόχος της παρούσας διατριβής είναι η αποτελεσματική επίλυση χρονομεταβαλλόμενων ιξωδοπλαστικών ροών, με ολίσθηση στο τοίχωμα και μη μηδενική τάση διολίσθησης. Το μοντέλο του Παπαναστασίου χρησιμοποιείται για εξομάλυνση της καταστατικής εξίσωσης. Ένα παρόμοιο μοντέλο προτείνεται και για την εξίσωση ολίσθησης. Η συμπεριφορά των δύο μοντέλων διερευνάται σε μόνιμες ροές και μεταβατικές ροές Poiseuille ιξωδοπλαστικών ρευστών. Για την επίλυση της διακοπής της αξονοσυμμετρικής ροής Poiseuille ενός ρευστού Herschel-Bulkley, χρησιμοποιήσαμε μια εξίσωση ολίσθησης εκθετικής μορφής που σχετίζει την διατμητική τάση με την ταχύτητα ολίσθησης. Δείξαμε ότι για μηδενική τάση διολίσθησης, τo ρευστό ολισθαίνει στο τοίχωμα καθ’ όλη την διάρκεια της ροής, ότι η ταχύτητα καθίσταται και παραμένει ομοιόμορφη πριν την πλήρη παύση της ροής και ότι ο χρόνος διακοπής είναι πεπερασμένος μόνο όταν ο εκθέτης ολίσθησης είναι μικρότερος της μονάδας, s<1. Για ολίσθηση Navier (s=1), ο χρόνος διακοπής είναι άπειρος και η ογκομετρική παροχή μειώνεται εκθετικά. Όταν s>1, η μείωση είναι πολύ πιο αργή. Έχουμε επίσης εξαγάγει αναλυτικές λύσεις για την απόσβεση της ομοιόμορφης ταχύτητας και για το χρόνο διακοπής. Για μη μηδενική τάση διολίσθησης, η ολίσθηση στο τοίχωμα παύει σε ένα κρίσιμο πεπερασμένο χρόνο, η ταχύτητα καθίσταται ομοιόμορφη μόνο στην πλήρη παύση της ροής και ο χρόνος διακοπής είναι πεπερασμένος, σε συμφωνία με θεωρητικές εκτιμήσεις. Στην μόνιμη ροή Poiseuille ενός ρευστού Herschel-Bulkley σε αγωγό ορθογώνιας διατομής, παρατηρούνται τέσσερις περιοχές ροής καθώς αυξάνεται η βαθμίδα πίεσης. Αρχικά δεν παρατηρείται ολίσθηση το τοίχωμα, στη δεύτερη περιοχή παρατηρείται ολίσθηση στο μέσο του πλατύτερου τοιχώματος, στο τρίτο παρατηρείται μερική ολίσθηση και στα δύο τοιχώματα, και στο τελευταίο παρατηρείται μεταβλητή ολίσθηση σε όλα τα τοιχώματα. Η συμπεριφορά του ομαλοποιημένου μοντέλου ολίσθησης μελετήθηκε σε Νευτώνειες ροές και σε ροές Bingham. Τα αριθμητικά αποτελέσματα για ευρύ φάσμα των διαφόρων σχετικών παραμέτρων συμφωνούν με διαθέσιμα θεωρητικά και αριθμητικά αποτελέσματα. Τα αριθμητικά αποτελέσματα για τη διακοπή της ροής έδειξαν εκ νέου ότι με ολίσθηση Navier, το ρευστό ολισθαίνει καθ’ όλη τη διάρκεια της ροής, ότι η ταχύτητα γίνεται και παραμένει ομοιόμορφη πριν την πλήρη παύση της ροής και ότι ο χρόνος διακοπής είναι άπειρος. Η απόσβεση της ομοιόμορφης ροής υπολογίζεται αναλυτικά. Επίσης, με την ολίσθηση Navier, δεν εμφανίζονται νεκρές περιοχές στις γωνιές του αγωγού. Όταν η τάση διολίσθησης είναι μη μηδενική, το ρευστό ολισθαίνει παντού ή μερικώς στο τοίχωμα μόνο στα αρχικά στάδια της διακοπής. Η ολίσθηση σταματά σε ένα κρίσιμο χρόνο μετά τον οποίο η ογκομετρική παροχή μειώνεται εκθετικά. Ο χρόνος διακοπής είναι πεπερασμένος και σε συμφωνία με τα θεωρητικά άνω φράγματα.

Yield-stress or viscoplastic materials behave as fluids only when the stress exceeds the yield stress and as solids otherwise. The determination of the so-called yielded and unyielded regions, which are not known a priori, leads to severe numerical difficulties when solving viscoplastic flows. Viscoplastic materials are also known to exhibit wall slip when the stress exceeds a critical value, known as the slip yield stress. If the latter is non-zero, the slip equation consists of two-branches resulting to difficulties analogous to those encountered with the discontinuous viscoplastic constitutive equations. The main objective of this thesis is to solve efficiently time-dependent viscoplastic flows with wall slip and non-zero slip yield stress. The Papanastasiou regularization is used for regularizing the constitutive equation. A similar regularization is proposed for the slip equation. The performance of both regularizations is tested in steady-state and cessation Poiseuille flows of viscoplastic fluids, such as Bingham plastics and Herschel-Bulkley fluids. For the cessation of axisymmetric Poiseuille flow of a Herschel-Bulkley fluid, we used a power-law slip equation relating the wall shear stress to the slip velocity. We have shown that if the slip yield stress is zero, the fluid slips at all times, the velocity becomes and remains uniform before complete cessation, and the stopping time is finite only when the slip exponent s<1. In the case of Navier slip (s=1), the stopping time is infinite and the volumetric flow rate decays exponentially. When s>1, the decay is much slower. Analytical expressions of the decay of the flat velocity and of the stopping time have also been derived. When the slip yield stress is non-zero, slip ceases at a finite critical time, the velocity becomes flat only in complete cessation, and the stopping times are finite, in agreement with theoretical estimates. In steady-state Poiseuille flow of a Herschel-Bulkley fluid in a duct of rectangular cross section, four different flow regimes are observed as the pressure gradient is increased. Initially no slip occurs, in the second regime slip occurs only in the middle of the wider wall, in the third one slip occurs partially at both walls, and eventually variable slip occurs everywhere. The performance of the regularized slip equation has been tested for both Newtonian and Bingham flows. The numerical results for wide ranges of the various parameters involved compare favorably with available theoretical and numerical results. The numerical results for the cessation flow showed again that in the case of Navier slip (zero slip yield stress), the fluid slips at all times, the velocity becomes and remains plug before complete cessation, and the theoretical stopping time is infinite. The cessation of the plug flow has been calculated analytically. No stagnant regions appear at the corners when Navier slip is applied. In the case of non-zero slip yield stress, the fluid may slip everywhere or partially at the wall only in the initial stages of cessation. Slip ceases at a critical time after which the flow decays exponentially and the stopping times are finite in agreement with theory.