Algebraic complete integrability of Lotka-Volterra equations in three and four dimensions

Abstract

Σ' αυτή τη διατριβή, εξετάζουμε την πλήρη αλγεβρική ολοκληρωσιμότητα των εξισώσεων Lotka - Volterra στις τρεις και στις τέσσερις διαστάσεις, που ορίζονται από ένα αντισυμμετρικό πίνακα. Ο στόχος μας είναι η πλήρη ταξινόμηση αυτών των συστημάτων. Η ταξινόμηση αυτή επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας δύο μεθόδους. Η πρώτη είναι να βρούμε τα συστήματα τα οποία έχουν ακέραιους εκθέτες Kowalevski. Αυτή η συνθήκη μας δίνει ένα πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων και έπειτα ελέγχουμε την πλήρη αλγεβρική ολοκληρωσιμότητα της καθεμιάς ξεχωριστά. Η δεύτερη μέθοδος είναι να ελέγξουμε άτι η κύρια συυπεριφορά των σειρών Laurent των λύσεων συμφωνεί με τους αντίστοιχους βαθμούς των ομογενών διανυσματικών πεδίων που ορίζουν το δυναμικό σύστημα. Αν αυτό δε συμβαίνα. τότε θα εφαρμόσουμε την παραδοσιακή ανάλυση Painleve για να βρούμε τις ελεύθερες παραμέτρους, χρησιμοποιώντας και το γεγονός ότι το άθροισμα των μεταβλητών είναι πάντα σταθερά κίνησης. Το πλήθος των ελεύθερων παραμέτρων καθορίζει την πλήρη αλγεβρική ολοκληρωσιμότητα του συστήματος. Έχουμε βρει έξι μη ισομορφικά συστήματα στην περίπτωση των τριών διαστάσεων και πάνω από εκατό μη ισομορφικά συστήματα στην περίπτωση των τεσσάρων διαστάσεων. Σ' αυτή την ταξινόμηση μπορούμε να δούμε τα ανοικτά και περιοδικά συστήματα Kac-van Moerbeke και μερικά συστήματα που συνδέονται με απλές άλγεβρες Lie. Τα συστήματα Lotka-Volterra είναι σημαντικά στη Βιολογία, στη Χημεία, στα Οικονομικά και σε πολλές άλλες περιοχές.

In this thesis we examine the algebraic complete integrability of Lotka - Volterra equations in three and four dimensions, which are defined by a skew symmetric matrix. The goal is a complete classification of such systems. The classification is obtained using two methods. The first one is to look for the systems which have integer Kowalevski exponents. This condition gives us a finite number of cases and then we check the algebraic complete integrability of each system. The second method is to check that the leading behavior of the Laurent series solutions agrees with the weights of the corresponding homogeneous vector field defining the dynamical system. If it does not, then we will apply the old-fashioned Paileve analysis to find the free parameters, using the fact that the sum of the variables is always a first integral. The number of free parameters determines the algebraic complete integrability of a system. We have found six non isomorphic systems in the three dimensional case and over a hundred non isomorphic systems in the four dimensional case. In this classification we can see the open and periodic Kac-van Moerbeke systems and some systems connected with simple Lie algebras. The Lotka-Volterra systems are important in population dynamics, Biology, Chemistry, Economics and many other disciplines.