Error analysis of the Bergman kernel method with singular basis functions

Abstract

Στην παρούσα διατριβή υποθέτουμε ότι το G είναι ένα φραγμένο χωρίο Jordan με κατα τμήμα σύνορο μέσα στο μιγαδικό επίπεδο και έστω ότι Ω:= / συμβολίζει το συμπλήρωμα του . Παρουσιάζουμε θεωρητικές εκτιμήσεις και αριθμητικά αποτελέσματα σχετικά με την εφαρμογή της μεθόδου Bergman (ΒΚΜ) χρησιμοποιώντας μια βάση που περιέχει αλγεβρικές συναρτήσεις. Η μέθοδος αυτή είναι γνωστή ως ΒΚΜ/ΑΒ για την προσέγγιση της σύμμορφης απεικόνισης fo από το G στον κανονικοποιημένο δίσκο. Εδώ σημειώνουμε ότι παρουσιάζουμε δύο ειδών σφάλματα για την προσέγγισης της fo από τα βέλτιστα L (G) πολυώνυμα: το L (G) σφάλμα και το L ( ) σφάλμα. Με αυτό τον τρόπο παρέχουμε πλήρη θεωρητική αιτιολόγηση της μεθόδου ΒΚΜ/ΑΒ. Τέλος, παρουσιάζουμε αριθμητικά αποτελέσματα που πιστοποιούν όλα τα θεωρητικά μας αποτελέσματα για τη μέθοδο ΒΚΜ και ΒΚΜ/ΑΒ.

Ιn this thesis we assume that G is a bounded Jordan domain in the complex plane with piecewise analytic boundary and let Ω: = / denotes the complement of . We present theoretical estimates and numerical evidence for certain phenomena, regarding the application of the Brgman Kernel method (BKM) with algebraic and pole singular basis functions denoted as BKM/AB, for approximating the conformal mapping fo of G onto the normalized disk. More precisely, we obtain two sided – estimates for the L (G) and L ( ) – error, in the best L (G) polynomial approximation to fo. In this way, we complete the task of providing full theoretical justification of this method. Finally, we present numerical computations that illustrate our theoretical results for the method BKM and BKM/AB.