Some aspects of weighted Koppelman integral representation formulas and their applications

Abstract

Στην παρούσα διατριβή κατασκευάζουμε έναν ολοκληρωτικό τύπο Koppelman σε ομαλές συμπαγείς πολλαπλότητες που αναπαριστά (0,q) ομαλές διαφορικές μορφές, οι οποίες λαμβάνουν τιμές σε συγκεκριμένες μονoδιάστατες διανυσματικές δέσμες. Οι εμπλεκόμενοι πυρήνες της αναπαράστασης κατασκευάζονται έτσι ώστε τα ιδιάζοντα τους σημεία να βρίσκονται στο exceptional set των εν λόγω πολλαπλοτήτων. Ως εφαρμογή, μελετάμε περιπτώσεις στις οποίες οι κλάσεις συνομολογίας Dolbeault των (0,q) μορφών σε ομαλές συμπαγείς πολλαπλότητες που παίρνουν τιμές σε διαφορετικές διανυσματικές δέσμες είναι τετριμμένες. Αν και τα αποτελέσματα αυτά είναι ήδη γνωστά, η καινοτομία εδώ έγκειται στο γεγονός ότι η μέθοδος μας δίνει μια αναλυτική λύση της \bar{d}-εξίσωσης στις εν λόγω πολλαπλότητες.

Περαιτέρω μελετούμε τη συνοριακή συμπεριφορά ενός weighted Koppelman τύπου στο C^n όπου έχουμε χρησιμοποιήσει μια συγκεκριμένη επιλογή βάρους. Μάλιστα μέσω της χρήσης του τύπου αυτού, αναπαράγουμε το αποτέλεσμα επέκτασης , ότι αν μια συνάρτηση f έχει την μονοδιάστατη ιδιότητα επέκτασης για κάθε ευθεία που συναντά ένα χωρίο D (υποσύνολο του C^n) και επιπλέον, η 1/\bar{t} μπορεί να επεκταθεί από το σύνορο στο εσωτερικό, τότε η f μπορεί να επεκταθεί σε ολόμορφη συνάρτηση στο D η οποία είναι συνεχής στο σύνορο. Αφενός, τα αποτελέσματα μας είναι κοντά στο πνεύμα των αποτελεσμάτων που συνδέονται με τον ολοκληρωτικό τύπο Bochner-Martinelli (Β-Μ), αφετέρου είναι εκπληκτικά επειδή οι εμπλεκόμενοι πυρήνες στην περίπτωση μας δεν είναι αρμονικοί όπως τον πυρήνα B-M. Έτσι η ανεξαρτησία των αποτελεσμάτων από την επιλογή των πυρήνων υποδηλώνει την τοπολογική φύση των αποτελεσμάτων.

The dissertation derives a Koppelman integral representation formula on smooth compact toric varieties representing (0,q) smooth forms taking values in specific line bundles by reducing our construction to the fact that the singular sets of the kernels involved are along the 'exceptional set' of the specific varieties. As an application, we study the vanishing of the Dolbeault cohomology groups of (0,q) forms over smooth compact toric varieties with values in various lines bundles. Even if these results are already known, the novelty here lies on the fact that our method gives an explicit solution to the \bar{d}-equation on the varieties in question.

We further study the boundary behaviour of a weighted Koppelman integral representation formula on C^n with a specific choice of weight. Through the use of this specific formula, we manage to recover the extension result in that if a function f has the 'one dimensional extension property' for every complex line meeting a domain D (D subset C^n) where 1/\bar{t} can be extended from the boundary to the interior, then f can be extended to a holomorphic function in D which is also continuous on the boundary of D. On one hand, the results are close in spirit to those related to the Bochner-Martinelli kernel, but on the other hand are surprising because the kernels involved are not harmonic as the B-M kernel is. Thus, the independence of the results from the choice of the contributing kernels indicates somewhat the topological nature of the results.