Group analysis of systems of evolution equations

Abstract

Στις μέρες μας, ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία για την επίλυση των Διαφορικών Εξισώσεων είναι η εφαρμογή των μεθόδων των συμμετριών του Lie. Λύσεις μιας μη-γραμμικής Μερικής Διαφορικής Εξίσωσης (ΜΔΕ) μπορούν να κατασκευαστούν απευθείας από τις συμμετρίες ή μέσω των μετασχηματισμών υποβιβασμού τάξεως. Ωστόσο, η εύρεση των συμμετριών Lie ΜΔΕ και γενικότερα συστημάτων ΜΔΕ, δεν είναι εύκολη διαδικασία, ειδικότερα στην περίπτωση που στις εξισώσεις εμφανίζονται συναρτήσεις των εξαρτημένων ή/και ανεξάρτητων μεταβλητών. Ως εκ τούτου, προς αποφυγή πολυάριθμων υπολογισμών, απαιτούνται κάποιοι χρήσιμοι περιορισμοί στην συναρτησιακή μορφή των συντελεστών του γεννήτορα. Ο στόχος της παρούσας διατριβής είναι η εύρεση χρήσιμων, εκ των προτέρων περιορισμών, στην μορφή του γεννήτορα, για να μειωθεί ο αριθμός των υπολογισμών που απαιτούνται στην ταξινόμηση των συμμετριών. Θα ασχοληθούμε με εξισώσεις εξέλιξης. Προς επίτευξη του σκοπού αυτού, στο κεφάλαιο 2, δίνονται κάποιοι βασικοί, χρήσιμοι ορισμοί, που θα μας βοηθήσουν να αναπτύξουμε την θεωρία μας. Γίνεται περιγραφή της έννοιας των ομάδων μετασχηματισμών Lie, των απειροστών μετασχηματισμών. Ακολούθως, επεξηγούμε τι σημαίνει αναλλοίωτη Διαφορική Εξίσωση, μετασχηματισμοί υποβιβασμού τάξεως μιας Διαφορικής Εξίσωσης, μη-κλασσικές συμμετρίες και μετασχηματισμοί ισοδυναμίας. Στο επόμενο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε γνωστά αποτελέσματα για δύο κατηγορίες γενικευμένων μη-γραμμικών βαθμωτών ΜΔΕ. Συγκεκριμένα, για την μη-γραμμική εξίσωση της θερμότητας, χωρίς να παρουσιάσουμε τους υπολογισμούς, δίνουμε τους μετασχηματισμούς ισοδυναμίας, τις συμμετρίες Lie και τις αναλλοίωτες λύσεις. Επίσης, για την γενικευμένη εξίσωση του Burgers, αναφέρουμε τους μετασχηματισμούς ισοδυναμίας και τις συμμετρίες Lie. Το κεφάλαιο 4, είναι το κεφάλαιο στο οποίο παρουσιάζονται οι ζητούμενοι, προαναφερθέντες περιορισμοί στην μορφή του γεννήτορα. Ανακαλούμε κάποια αποτελέσματα από τις δημοσιεύσεις των Tu και Bluman. Υποκινούμενοι από αυτή την δουλειά, για βαθμωτές ΜΔΕ εξέλιξης, επεκτείνουμε παρόμοια αποτελέσματα και για συστήματα εξισώσεων εξέλιξης. Αναλυτικότερα, πρώτα παρουσιάζουμε τους περιορισμούς στην μορφή του συντελεστή τ του γεννήτορα. Εξετάζουμε πότε αυτός ο συντελεστής είναι συνάρτηση του t, μόνον. Έχουμε επίσης βρει αντιπαραδείγματα στα οποία το τ, δενεξαρτάται μόνο από το t. Αυτά είναι ενδιαφέροντα παραδείγματα, τα οποία πρέπει να εξετασθούν σε κάποια μελλοντική εργασία. Επιπλέον, δίνονται και περιορισμοί στην μορφή των συντελεστών ξ, η και μ, στην περίπτωση που ισχύει T=T(t). Τα κεφάλαια 5 και 6, αποτελούν εφαρμογές των αποτελεσμάτων του κεφαλαίου 4, σε δύο ειδικές περιπτώσεις συστημάτων εξισώσεων εξέλιξης. Ο σκοπός του κεφαλαίου 5 είναι η ταξινόμηση των συμμετριών συστημάτων εξισώσεων διάχυσης, ενώ στο κεφάλαιο 6 εξετάζουμε συστήματα τύπου Burgers. Και για τα δύο συστήματα, παρουσιάζουμε τις συμμετρίες Lie, ως αποτέλεσμα των προηγούμενων περιορισμών, και τους μετασχηματισμούς ισοδυναμίας, που μας βοηθούν να απλοποιήσουμε την μορφή των ΜΔΕ. Έχουμε μελετήσει τους μετασχηματισμούς υποβιβασμού τάξεως για δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις συστημάτων εξισώσεων διάχυσης, ενώ έχουμε βρει και κάποια παραδείγματα μη-κλασσικών συμμετριών, καθώς επίσης και μία γραμμικοποιήσιμη περίπτωση συστήματος τύπου Burgers. Τέλος, στο κεφάλαιο 7, παρουσιάζουμε ανάλυση συμμετριών ενός δι-διάστατου συστήματος Burgers. Η διατριβή ολοκληρώνεται με την αναλλοίωτη άλγεβρα Lie και τις υποάλγεβρες αυτής, ακολουθούμενη από την πλήρη σημειακή ομάδα συμμετριών, τους υποβιβασμούς Lie συνδιαστάσεων 1 και 2, καθώς επίσης και τις συμμετρίες Lie των υποβιβασμένων συστημάτων ΜΔΕ. Το τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής, αποτελεί περιγραφή της έρευνας που πρόκειται να γίνει στο εγγύς μέλλον. Απαριθμούνται προβλήματα, τα οποία πιθανόν να επιδέχονται γενικεύσεων, που θα εξεταστούν. Αυτά είναι προβλήματα που εμφανίστηκαν στα κεφάλαια 4, 5, 6 και 7 της διατριβής και για τα οποία απαιτείται επιπλέον μελέτη!

Nowadays, one of the most important tools for the solution of differential equations is the application of Lie symmetry methods. Solutions of nonlinear partial differential equations (PDEs) can be constructed directly from the symmetries or via similarity reductions. However, finding Lie symmetries of PDEs and generally for systems of PDEs, is not an easy task, especially when arbitrary elements appear in the equations. Hence, in order to avoid numerous calculations, some useful restrictions on the functional form of the coefficient functions of the Lie generator, are needed. The target of the present thesis is to find some useful a-priori restrictions on the form of the generator, to reduce the number of alculations required in group classification. We deal with evolution equations. To achieve this goal, in chapter 2 some basic, necessary definitions are given, that enable us to develop our theory. We describe the notion of Lie groups of transformations, the infinitesimal transformations. We explain what is meant by the terms invariance of a PDE, similarity reductions, nonclassical symmetries and equivalence transformations. In the next chapter, we exhibit known results for two types of generalized nonlinear scalar PDEs. Specifically, for the nonlinear heat equation without presenting any calculations, we mention out the equivalence transformations, Lie symmetries and invariant solutions. Also, for the generalized Burgers equation, equivalence transformations and Lie symmetries are given. These two equations motivate us to extend these results, for systems of diffusion equations, later in the thesis. Chapter 4 is the chapter in which the wanted, aforementioned restrictions on the form of the Lie generator are derived. We recall some results from the papers of Tu and Bluman. Motivated by this work for scalar evolution PDEs, we extend similar results to systems of evolution equations. That is, we firstly present restrictions on the form of the coefficient function $\tau$ of the generator. We examine when this coefficient function is a function only of t. We have also found counterexamples in which τ depends not only on t. These are interesting examples, that need to be considered in some future work. Furthermore, restrictions on the form of the coefficient functions ξ, η and μ, are given, in the case where τ=τ(t) is valid. Chapters 5 and 6 contain applications of chapter 4 on two special classes of systems of evolution equations. Group classification of systems of diffusion equations is the purpose of chapter 5, while in chapter 6 we examine Burgers-type systems. For both systems, Lie symmetries, as a result of the previous restrictions, and equivalence transformations, that help us to simplify the form of the PDEs, are given. We have studied similarity reductions for two special cases of systems of diffusion equations, whilst we have found some examples of nonclassical reductions and a linearizable case of Burgers systems. We finally present, in chapter 7, symmetry analysis of a two-dimensional Burgers system. Lie invariance algebra and its subalgebras, followed by the complete point symmetry group, Lie reductions of codimension one and two and also Lie symmetries of the reduced systems of PDEs, complete this thesis. The last chapter of the thesis, is a description of what we are planning to do in the next few years. Problems that might admit generalizations are listed to be carried out. These are problems appeared in chapters 4, 5, 6 and 7 of the thesis and need further study!