Numerical study of thermally-driven flows with variable properties

Abstract

Οι ροές φυσικής συναγωγής μπορούν να θεωρηθούν προσεγγιστικά ως ροές με σταθερές ιδιότητες μόνο όταν οι θερμοκρασιακές διαφορές είναι σχετικά μικρές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η προσέγγιση Oberbeck-Boussinesq ισχύει και το σύνολο των εξισώσεων που διέπουν τη ροή απλοποιείται. Για μεγαλύτερες θερμοκρασιακές διαφορές, η μεταβολή των ιδιοτήτων του ρευστού δεν μπορεί να αγνοηθεί, ενώ τα υγρά και τα αέρια συμπεριφέρονται διαφορετικά. ́Οταν επιχειρηθεί μια αριθμητική επίλυση για αυτές τις δύο κατηγορίες ρευστών, προκύπτει μια εξίσωση Poisson για την πίεση με μεταβλητούς συντελεστές λόγω των μεταβολών της πυκνότητας του θερμαινόμενου μέσου. Αυτό το χαρακτηριστικό αυξάνει σημαντικά το υπολογιστικό κόστος και επιπρόσθετα περιπλέκει την αριθμητική επίλυση ροών μεταβλητών ιδιοτήτων συγκριτικά με ροές σταθερών ιδιοτήτων. Ως συνέπεια αυτού, υπάρχει απουσία σχετικών δυσδιάστατων και τρισδιάστατων μελετών υψηλής ανάλυσης που χρησιμοποιούν άμεσες αριθμητικές προσομοιώσεις και μπορούν να δώσουν κάποια εκτενέστερη περιγραφή των φυσικών διεργασιών που λαμβάνουν χώρα σε τέτοιες απαιτητικές ροές. Συνεπώς, οι στόχοι που τίθενται σε αυτή τη διατριβή είναι αφενός η ανάπτυξη μιας αποδοτικής μεθοδολογίας για επίλυση ροών φυσικής συναγωγής υγρών και αερίων με μεταβλητές ιδιότητες, και αφετέρου η προσομοίωση τέτοιων ροών για να διερευνηθούν τα φαινόμενα non-Oberbeck-Boussinesq. Τα πρώτα δύο κεφάλαια αυτής της διατριβής είναι αφιερωμένα στη λεπτομερή παρουσίαση και επαλήθευση της προτεινόμενης μεθοδολογίας για άμεσες αριθμητικές προσομοιώσεις. Στα πλαίσια αυτής της μεθοδολογίας, οι εξισώσεις που διέπουν το πρόβλημα διαθέτουν μεταβλητές ιδιότητες που εξαρτώνται από τη θερμοκρασία. Η παρουσίαση γίνεται ξεχωριστά για υγρά και για αέρια αφού οι δύο αυτές κατηγορίες ρευστών διέπονται από διαφορετικά σύνολα εξισώσεων. Το κύριο χαρακτηριστικό αυτής της μεθοδολογίας είναι η χρήση ενός σχήματος διαχωρισμού της πίεσης για μετατροπή της εξίσωσης Poisson μεταβλητών συντελεστών που προκύπτει για την πίεση, σε εξίσωση Poisson με σταθερούς συντελεστές. Το κυριότερο πλεονέκτημα αυτής της προσέγγισης είναι η συμβατότητα με γρήγορους άμεσους επιλυτές οι οποίοι είναι γνωστοί για την υπολογιστική τους αποδοτικότητα. Στη συνέχεια, η προτεινόμενη μεθοδολογία θα επαληθευτεί συγκρινόμενη με σχετικές μελέτες, διαθέσιμες στη βιβλιογραφία.Στα επόμενα δύο κεφάλαια, η υπολογιστική μεθοδολογία θα χρησιμοποιηθεί για να μελετηθούν δύο ξεχωριστά προβλήματα (i) συναγωγή τύπου Rayleigh-Bénard σε νερό και (ii) φυσική συναγωγή αέρα εντός μιας διαφορικά θερμαινόμενης κοιλότητας. Σχετικές ποσότητες όπως ο αριθμός Nusselt, το πάχος του οριακού στρώματος της θερμοκρασίας, μέσα και διακυμαινόμενα πεδία θερμοκρασίας θα χρησιμοποιηθούν για να χαρακτηρίσουν την κάθε ροή. Για το πρώτο πρόβλημα, η προσοχή στρέφεται στις διαφορές μεταξύ δισδιάστατων και τρισδιάστατων προσομοιώσεων. Μια εκτεταμένη τεκμηρίωση αυτών των διαφορών αναδεικνύει ποιες ποσότητες μπορούν να υπολογιστούν με ακρίβεια σε δυσδιάστατες προσομοιώσεις και ποιες μπορούν μόνο να αναπαρασταθούν επαρκώς στις τρεις διαστάσεις. Το δεύτερο πρόβλημα προσανατολίζεται στην ποσοτικοποίηση των φαινομένων non-Oberbeck-Boussinesq για ροές εντός κοιλοτήτων με διαφορετικό λόγο ύψους-πλάτους. Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στη μετατόπιση του σημείου μετάβασης από στρωτή σε τυρβώδη ροή στο θερμό και ψυχρό όριο της κοιλότητας, όσο η αλλαγή των ιδιοτήτων γίνεται εντονότερη.

Thermally-driven flows can be approximated as constant property flows only when temperature differences are relatively small. In that case, the Oberbeck-Boussinesq approximation is valid and the set of governing equations is simplified. For larger temperature differences, the variation of the fluid properties cannot be ignored and, in addition, liquids and gases behave differently. When a numerical solution is attempted for both these fluid categories, a variable coefficient Poisson equation for the pressure emerges due to the density variations of the heated medium. This characteristic significantly increases the computational cost and further complicates the numerical solution of variable property flows compared to flows with approximately constant properties. As a consequence, there is a lack of relevant high-resolution, two- and three-dimensional direct numerical simulation studies that can provide some physical insight into such challenging flows. Therefore, the main objectives of this thesis are on the one hand the development of an efficient methodology to solve thermally-driven flows of liquids and gases with variable properties, and on the other hand the simulation of such flows to investigate the resulting non-Oberbeck-Boussinesq effects. The first two chapters of this thesis are dedicated to the detailed presentation and validation of the proposed numerical methodology. In the context of this methodology, the governing equations consider temperature dependent thermophysical properties. The presentation is done separately for liquids and gases since these are governed by different sets of equations. The key characteristic of this methodology is the use of a pressure-splitting scheme to transform the variable coefficient Poisson equation for the pressure into a constant coefficient Poisson equation. The major advantage of this formulation is its compatibility with fast direct solvers, which are known for their computational efficiency. The proposed methodology is then validated against relevant test cases available in the literature. In the next two chapters of the thesis, the numerical methodology is utilised to study two different variable property problems: (i) the Rayleigh-Bénard convection in water and (ii) the flow of air inside a differentially heated cavity. Relevant quantities such as the Nusselt number, thermal boundary layer thickness, time-averaged and r.m.s. temperature fields are used to characterise these flows. For the first problem, the focus is on the differences between two-dimensional and three-dimensional simulations. An extended documentation of these differences provides a clearer insight into which quantities are accurately captured in two-dimensional simulations and which are fairly represented only in three dimensions. The second problem is oriented towards the quantification of the non-Oberbeck-Boussinesq effects for different cavity aspect-ratios. Special attention is given to the relocation of the laminar-turbulence transition point on the heated and cooled boundaries of the cavity, as property variations become stronger.