Η ανάπτυξη ενός θεωρητικού μοντέλου για τη φαντασία στα μαθηματικά, τις μαθηματικές γνώσεις και τη μαθηματική νοοτροπία

Abstract

Ο σκοπός της παρούσας έρευνας είναι να εξετάσει εμπειρικά, με μαθητές ηλικίας 11-12 ετών, τη δομή καθώς και τις σχέσεις ανάμεσα στη φαντασία στα μαθηματικά, τις μαθηματικές γνώσεις και τη μαθηματική νοοτροπία. Αυτοί οι τρεις παράγοντες αποτελούν τους εσωτερικούς παράγοντες που συνεισφέρουν στη μαθηματική δημιουργικότητα, σύμφωνα με το μοντέλο της Seelig (2012). Στην έρευνα έλαβαν μέρος 217 μαθητές Στ’ δημοτικού από τρία αστικά και οκτώ αγροτικά δημοτικά σχολεία της Κύπρου. Για τη συλλογή των δεδομένων, χορηγήθηκαν τα ακόλουθα εργαλεία: (α) το δοκίμιο μέτρησης της φαντασίας στα μαθηματικά, (β) το δοκίμιο μαθηματικών γνώσεων και (γ) το ερωτηματολόγιο της μαθηματικής νοοτροπίας. Συγχρόνως, λήφθηκαν ημι-δομημένες ατομικές συνεντεύξεις από 18 μαθητές, οι οποίες αποσκοπούσαν στη μελέτη των γνωστικών διαδικασιών της φαντασίας στα μαθηματικά που εμφανίζονται καθώς οι μαθητές επιλύουν ένα μαθηματικό πρόβλημα ενόρασης. Τα ποσοτικά δεδομένα αναλύθηκαν με τη μέθοδο ανάλυσης Μερικών Ελάχιστων Τετραγώνων (PLS-SEM), ενώ τα ποιοτικά δεδομένα με τη μέθοδο της αναλυτικής επαγωγής. Τα αποτελέσματα της διατριβής έδειξαν ότι: (α) Η φαντασία στα μαθηματικά είναι μια πολυδιάστατη εννοιολογική οντότητα, αποτελώντας έναν παράγοντα δευτέρας τάξης που ορίζεται από τρεις ικανότητες: την οπτικοποίηση, τις μετασχηματιστικές ικανότητες και την πρωτοτυπία. (β) Συγκεκριμένες γνωστικές διαδικασίες εμφανίζονται καθώς οι μαθητές επιλύουν ένα μαθηματικό πρόβλημα ενόρασης, οι οποίες ακολουθούν τέσσερα στάδια: προετοιμασία, επώαση, φωτισμός και επαλήθευση. Κάθε στάδιο πραγματώθηκε με διαφορετικό τρόπο στους μαθητές με διαφορετική ικανότητα επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων ενόρασης. (γ) Ανάμεσα στους τρεις εσωτερικούς παράγοντες που, σύμφωνα με το μοντέλο της Seelig (2012), συνεισφέρουν στη μαθηματική δημιουργικότητα, δηλαδή τη φαντασία στα μαθηματικά, τις μαθηματικές γνώσεις και τη μαθηματική νοοτροπία, επικρατούν συγκεκριμένες σχέσεις. Οι μαθηματικές γνώσεις μπορούν να ερμηνευθούν άμεσα και σε μέτριο βαθμό από τη μαθηματική νοοτροπία. Η φαντασία στα μαθηματικά μπορεί να επεξηγηθεί άμεσα και σε μεγάλο βαθμό από τις μαθηματικές γνώσεις, ενώ μπορεί να ερμηνευθεί έμμεσα από τις πεποιθήσεις των μαθητών για τη μαθηματική νοοτροπία.

The present study purports to empirically examine the structure and relationships among mathematical imagination, mathematical knowledge and mathematical mindset. These three factors are constituent parts of Seelig’s (2012) Innovation Engine model and according to her they can influence creativity. Two hundred and seventeen sixth grade students from three urban and eight rural primary schools in Cyprus participated in the study. The following instruments were administered to students: (a) a test measuring mathematical imagination, (b) a mathematical knowledge test, (c) a questionnaire on mathematical mindset. Individual semi-structured interviews with eighteen students were conducted as well, in order to explore students’ cognitive processes of mathematical imagination which emerge while solving an insight mathematical problem. The quantitative data of the study were analyzed through partial least squares structural equation modeling, while the qualitative data through analytic induction. The study has yielded the following findings: (a) Mathematical imagination is a multi-dimensional construct. It consists a second-order factor which is defined by three first-order factors: visualization, transformational skills and originality. (b) Students’ cognitive processes arise while solving an insight mathematical problem and can be sub-divided into four stages: Preparation, incubation, illumination and verification. Students of different ability in solving mathematical insight problems experienced each stage in a different manner. (c) Particular relationships exist among the three factors on the inside of the Innovation Engine that influence mathematical creativity (Seelig, 2012): mathematical imagination, mathematical knowledge and mathematical mindset. Mathematical knowledge can be explained directly and moderately by mathematical mindset. Mathematical imagination can be explained directly and to a large extent by mathematical knowledge and indirectly by mathematical mindset.