Block bootstrap methods for functional time series

Abstract

Η ανάλυση συναρτησιακών δεδομένων είναι ένας ταχέως αναπτυσσόμενος τομέας έρευνας στην στατιστική που ασχολείται με τη στατιστική ανάλυση απειροδιάστατων (συναρτησιακών) δεδομένων. Επομένως, είναι σημαντικό να επεκταθεί η θεωρία και οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την στατιστική ανάλυση πεπερασμένης διάστασης δεδομένων και στην περίπτωση των δεδομένων άπειρης διάστασης. Η διατριβή αυτή εφαρμόζει τις μεθόδους} bootstrap σε συναρτησιακά δεδομένα τα οποία υποθέτουμε ότι είναι ασθενώς εξαρτημένα με μια ευρεία έννοια και βασίζεται σε δύο κύριους πυλώνες. Ο πρώτος πυλώνας αυτής της διατριβής ασχολείται με την συνέπεια του moving block και του tapered block bootstrap όταν οι μέθοδοι αυτοί εφαρμόζονται σε συναρτησιακές χρονοσειρές. Πιο συγκεκριμένα, στην διατριβή αυτή, αποδεικνύονται κεντρικά οριακά θεωρήματα για το moving block και το tapered block bootstrap που αφορούν τον δειγματικό μέσο όρο. Επίσης αποδεικνύεται ότι αυτές οι διαδικασίες αναδειγματοληψίας παρέχουν συνεπείς εκτιμήτριες του τελεστή συνδιακύμανσης της μέσης συνάρτησης του δείγματος, δηλαδή της φασματικής πυκνότητας της υπό εξέταση συναρτησιακής διαδικασίας, σε μηδενική συχνότητα. Επίσης, αποδεικνύεται ένα κεντρικό οριακό θεώρημα για το moving block bootstrap εφαρμοζόμενο στον δειγματικό τελεστή συνδιακύµασης σε h χρονικές υστερήσεις. Ο δεύτερος πυλώνας ασχολείται με την εφαρμογή μεθοδολογιών που βασίζονται σε μεθόδους bootstrap για τον έλεγχο υποθέσεων σχετικά με την ισότητα ορισμένων χαρακτηριστικών των κατανομών, ανεξάρτητων πληθυσμών, βασιζόμενοι σε συναρτησιακές χρονοσειρές. Συγκεκριμένα, προτείνουμε αλγόριθμους που βασίζονται τοσο στο moving block οσο και στο tapered block bootstrap για το σημαντικό πρόβλημα του στατιστικου ελεγχου της ισότητας των μέσων συναρτήσεων πολλών πληθυσμών. Προτείνουμε επίσης μια διαδικασία που βασίζεται στο moving block bootstrap για τον έλεγχο της ισότητας του τελεστή συνδιακύμανσης μεταξύ διαφόρων ανεξάρτητων συναρτησιακών πληθυσμών. Η βασική ιδέα πίσω από τις προτεινόμενες διαδικασίες για τον στατιστικό έλεγχο είναι να προσαρμόσουμε τις τεχνικές αναδειγματοληψίας με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε οι δημιουργηθείσες ψευδο-παρατηρήσεις να ικανοποιούν την μηδενική υπόθεση του έλεγχου. Έτσι, οι προτεινόμενοι αλγόριθμοι που βασίζονται στις μεθόδους των block bootstrap είναι εφαρμόσιμες σε ένα ευρύ φάσμα πιθανών ελεγχοσυνάρτησων. Αποδείξαμε την εγκυρότητα των προτεινόμενων μεθόδων στην προσέγγιση των κατανομών κάποιων ελεγχοσυναρτήσεων κάτω από το μηδένικη υποθεση. Η αποτελεσματικότητα των προτεινόμενων διαδικασιών, εφαρμοσμένες σε ένα πεπερασμένο δείγμα, διερευνάται μέσω προσομοιώσεων. Προσομοιώσεις διεξάγονται επίσης για να ελέγξουμε το επίπεδο σημαντικότητας και την ισχύ των προτεινόμενων μεθοδολογιών στατιστικού έλεγχου οι οποίες βασίζονται σε bootstrap διαδικασίες. Τέλος, εξετάζεται η αποτελεσματικότητα των προτεινόμενων διαδικασιών στατιστικού έλεγχου εφαρμόζοντας τες σε δεδομένα από την πραγματική ζωή.

Functional data analysis is a fast-growing research area in statistics that deals with statistical analysis of infinite-dimensional (functional) data. It is therefore important to extend the theory and methods used for finite-dimensional to the setting of infinite-dimensional data. This dissertation applies bootstrap methods to functional data that are assumed to be temporal dependent in a broad sense and it is based on two main pillars. The first pillar of this dissertation addresses the consistency of the moving block and of the tapered block bootstrap applied to functional time series. More precisely, a central limit theorem for the moving block bootstrap and for the tapered block bootstrap for the sample mean is proved and it is shown that these block resampling procedures also provide consistent estimators of the covariance operator of the sample mean function, i.e., of the spectral density operator of the underlying functional process at frequency zero. We also prove a central limit theorem for the moving block bootstrap applied to the lag $h$ sample covariance operator. The second pillar deals with the application of bootstrap-based methodologies for testing hypotheses about equality of certain characteristics of the distributions between several independent, populations in functional time series context. More precisely, we develop algorithms based on both the moving block and the tapered block bootstrap procedures for the important problem of testing the equality of the mean functions of several populations. A moving block bootstrap based procedure for testing the equality of the covariance operator between several independent functional populations is also considered. The basic idea behind these testing methodologies is to bootstrap the observed functional time series in such a way that the obtained functional pseudo-observations satisfy the null hypothesis of interest. Therefore, the suggested block bootstrap-based testing methodologies are applicable to a broad range of possible test statistics. We establish validity of the proposed bootstrap methods in approximating the distribution of some fully functional test statistics under the null. The finite sample behaviour of the bootstrap procedures proposed is investigated by means of simulations. Simulations are also conducted to gauge the size and power properties of the suggested block bootstrap-based testing methodologies. Applications to real-life data sets are also examined.