Viscoplastic flows with wall slip and pressure-dependent rheological parameters

Abstract

Τα ιξωδοπλαστικά υλικά συμπεριφέρονται ως ρευστά ή ως στερεά αν η τάση είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από την τάση διαρροής (yield-stress), αντίστοιχα. Αυτή η διττή συμπεριφορά έχει ως αποτέλεσμα το ότι το πεδίο ροής χωρίζεται σε περιοχές διαρροής και μη διαρροής. Είναι, επίσης, γνωστό ότι τα ιξωδοπλαστικά υλικά τείνουν να ολισθαίνουν στα τοιχώματα. Η παρούσα διατριβή έχει δύο κύριους στόχους. Ο πρώτος στόχος είναι η επίλυση της ροής Poiseuille ενός ρευστού Herschel-Bulkley με διαφορετική ολίσθηση στα δύο τοιχώματα και η επέκταση της έρευνας των Philippou et al. (2016), προκειμένου να διερευνηθεί η ανάπτυξη της ιξωδοπλαστικής ροής στην περίπτωση ενός αγωγού με ολίσθηση μόνο στο ένα τοίχωμα. Ο δεύτερος κύριος στόχος, αφορά στην επέκταση της ‘λιπαντικής μεθόδου’ (lubrication method) των Fusi et al. (2015) και την επίλυση της ροής ενός ρευστού Herschel-Bulkley με ρεολογικές παραμέτρους εξαρτώμενες από την πίεση, στην περίπτωση συμμετρικών ή μη συμμετρικών αγωγών. Στο πρώτο μέρος της διατριβής, μελετούμε τη μόνιμη ροή ενός ρευστού Herschel-Bulkley υπό πίεση, υποθέτοντας ότι ισχύουν διαφορετικές εξισώσεις ολίσθησης στα δύο τοιχώματα. Καθώς ο συντελεστής πίεσης αυξάνεται, παρατηρούνται τρεις διαφορετικές περιοχές ροής. Η επέκταση των διαφορετικών περιοχών ροής εξαρτάται από το πλάτος του αγωγού. Τα θεωρητικά αποτελέσματα συμφωνούν με πειραματικά δεδομένα για μαλακά υαλώδη εναιωρήματα, τα οποία διεξήγαγαν οι Vayssade et al. (2014). Επιπλέον, μελετούμε τη ροή ενός ρευστού Herschel-Bulkley σε οριζόντιο αγωγό, υποθέτοντας ότι η ολίσθηση εμφανίζεται μόνο στο άνω τοίχωμα και χρησιμοποιώντας μια εξίσωση ολίσθησης εκθετικής μορφής. Παρουσιάζουμε τις μονοδιάστατες πλήρως ανεπτυγμένες λύσεις και προσδιορίζουμε τις διαφορετικές περιοχές ροής. Χρησιμοποιούμε τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων και το μοντέλο Παπαναστασίου για εξομάλυνση της καταστατικής εξίσωσης και επιλύουμε αριθμητικά τη δυσδιάστατη αναπτυξιακή ροή. Δεδομένου ότι ο κλασικός ορισμός του μήκους ανάπτυξης δεν είναι εφαρμόσιμος, λαμβάνεται υπόψην το ολικό μήκος ανάπτυξης (global development length) καθώς και το μήκος ανάπτυξης ως προς το άνω τοίχωμα (upper-wall development length). Οι συνδυασμένες επιδράσεις της ολίσθησης και του αριθμού Bingham διερευνώνται, επίσης. Στο δεύτερο μέρος της διατριβής, επεκτείνουμε την προσέγγιση που προτείνεται από τους Fusi et al. (2015) για πλαστικά Bingham, προκειμένου να μοντελοποιήσουμε τη ροή λίπανσης ενός ρευστού Herschel-Bulkley σε ένα συμμετρικό αγωγό διαφορετικού πλάτους, όπου τόσο ο δείκτης συνάφειας (consistency index) όσο και η τάση διαρροής (yield stress) εξαρτώνται από την πίεση. Επιλύοντας μια ολοκληρωτικό-διαφορική εξίσωση, υπολογίζουμε αριθμητικά την πίεση και χρησιμοποιώντας τις αναλυτικές λύσεις, υπολογίζουμε τη θέση της επιφάνειας διαρροής και τις δύο συνιστώσες της ταχύτητας. Δίνουμε, επίσης, καποιες αναλυτικές λύσεις για αγωγούς σταθερού και γραμμικά-μεταβαλλόμενου πλάτους και υπολογίζουμε αριθμητικά τις λύσεις λίπανσης για άλλες γεωμετρίες. Τέλος, επιλύουμε τη ροή λίπανσης ενός ρευστού Herschel-Bulkley με ρεολογικές παραμέτρους εξαρτώμενες από την πίεση σε έναν ασύμμετρο αγωγό, επεκτείνοντας την πιο πάνω προτεινόμενη μέθοδο.

Yield-stress or viscoplastic materials flow like a fluid only when the stress exceeds the yield stress. Otherwise, they beahave as a solid. As a result, the flow field is divided into unyielded and yielded regions. Viscoplastic materials are dispersed systems known to also exhibit wall slip. Two are the main objectives of this thesis. First, to solve the plane Poiseuille flow of a Herschel-Bulkley fluid with asymmetric wall slip and extend the work of Philippou et al. (2016) in order to investigate the development of viscoplastic flow in the particular case of a channel with slip only along one wall. The second objective is the extension of the lubrication method of Fusi et al. (2015) in order to solve the flow of Herschel-Bulkley fluid with pressure-dependent yield stress and consistency index, in the case of long symmetric or asymmetric channels with a general wall functions. In the first part of the thesis, we consider the steady, pressure-driven flow of a Herschel-Bulkley fluid in microchannel, assuming that different power-law slip equations apply at the two walls, resulting to the asymmetry of the velocity profile. We observe that, as the pressure gradient is increased; three different flow regimes are derived. The extension of the different flow regimes depends on the channel gap. The theoretical results are in agreement with experimental data on soft glassy suspensions, which are obtained by Vayssade et al. (2014). Further, we study the flow development of a Herschel-Bulkley fluid in a horizontal channel, assuming that slip occurs only along the upper wall. A power-law equation is employed. We derive the one-dimensional fully-developed solutions and identify the different flow regimes. We use finite elements along with the Papanastasiou regularization for the Herschel-Bulkley constitutive equation and we solve the two-dimensional development flow, numerically. Since the classical definition of the development length is not applicable, we consider the global and upper-wall development lengths. The combined effects of slip and the Bingham number are also investigated. In the secod part of the thesis, we extend the approach proposed by Fusi et al. (2015) for a Bingham plastic, in order to model the lubrication flow of a Herschel-Bulkley fluid in a symmetric long channel of varying width, where both the consistency index and the yield stress are pressure-dependent. Solving an integro-differential equation, we calculate the pressure, numerically; and using analytical solutions, we compute the position of the yield surface and the two velocity components. We also derive some analytical solutions for channels of constant and linearly-varying widths and calculate the lubrication solutions for other geometries, numerically. Finally, we solve the lubrication flow of a Herschel-Bulkley fluid with pressure-dependent rheological parameters in a long asymmetric channel, extending the above proposed method.The two yield surfaces and , where , defining the asymmetric unyielded core satisfy the system of and , where n is the power-law exponent and the constant depends on the Bingham number and the consistency-index and yield-stress growth numbers.