hp-Finite element methods fourth-order singularly perturbed problems

Abstract

Η διατριβή αφορά προβλήματα 4ης τάξης, στη μια και δύο διαστάσεις, τα οποία είναι διαταραγμένα με ιδιόμορφο / ιδιάζοντα τρόπο. Η λύση τέτοιων προβλημάτων περιέχει συνοριακά στρώματα. Έχουμε δύο στόχους: πρώτα θέλουμε να αποδείξουμε εκτιμήσεις ομαλότητας για τη λύση, οι οποίες είναι ρητές ως προς τη παράμετρο διαταραχής και τη τάξη της παραγώγισης. Στη συνέχεια, θέλουμε να προσεγγίσουμε τη λύση με την εκδοχή της hp της Μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) χρησιμοποιώντας το λεγόμενο Φασματικό Πλέγμα Συνοριακών Στρωμάτων. Πρώτιστα μας ενδιαφέρουν C1 προσεγγίσεις, αν και στο Κεφ.6 θεωρούμε μια C0 προσέγγιση βασισμένη σε μια μεικτή μεταβολική διατύπωση. Από τη πλευρά της ομαλότητας, αποδεικνύουμε εκτιμήσεις οι οποίες είναι ρητές ως προς την παράμετρο διαταραχής και τη τάξη παραγώγισης. Το επιτυγχάνουμε στη περίπτωση της κλασσικής ομαλότητας, όπως επίσης και στην περίπτωση της ομαλότητας μέσω ασυμπτωτικών αναπτυγμάτων. Τα τελευταία μας επιτρέπουν να γράψουμε/αναλύσουμε τη λύση ως ένα άθροισμα όρων που αποτελούνται από το ομαλό μέρος, τα συνοριακά στρώματα (κατά μήκος του συνόρου) και το υπόλοιπο (το οποίο είναι αμελητέο). Ρητές εκτιμήσεις ομαλότητας αποδεικνύονται για το κάθε μέρος στην ανάλυση. Τα πιο πάνω έχουν επιτευχθεί για προβλήματα με μη σταθερούς συντελεστές στην 1-διάσταση και για προβλήματα με σταθερούς συντελεστές στις 2-διαστάσεις, όπου το χωρίο είναι ομαλό. Χρησιμοποιώντας τις εκτιμήσεις ομαλότητας, κατασκευάζουμε μια κατάλληλη προσέγγιση για τη λύση, με την εκδοχή hp της ΜΠΣ. Αποδεικνύουμε ότι η προσέγγιση συγκλίνει με εκθετικό ρυθμό ανεξαρτήτως της παραμέτρου διαταραχής στη νόρμα ενέργειας, στη 1-διάσταση. Στις 2-διαστάσεις, η προσέγγιση δεν μπορεί να έχει C1 συνέχεια όταν τα στοιχεία του πλέγματος έχουν καμπύλες πλευρές (ή ακόμη και απλώς διαταραγμένες ευθείες). Ξεπερνούμε αυτήν την δυσκολία με δύο τρόπους: πρώτα θεωρούμε ότι το χωρίο είναι τετράγωνο, αλλά υποθέτουμε ότι η λύση συμπεριφέρεται έως αν το χωρίο να μην περιείχε γωνίες (και ως εκ τούτου, και ιδιομορφίες). Ο δεύτερος τρόπος είναι μέσω μιας μεικτής διατύπωσης, η οποία επιτρέπει τη χρήση C0 προσέγγισης. Και για τις δύο κατηγορίες, κατασκευάσαμε συναρτήσεις βάσης με ιεραρχικό τρόπο και τις υλοποιήσαμε στον υπολογιστή (μέσω της Matlab).

We study fourth-order singularly perturbed problems in one- and two-dimensions,and the approximation of their solution by the hp-Finite Element Method (FEM).The solution to such problems features boundary layers and our goal is twofold: first we want to obtain regularity results for the solution,and second we want to construct robust hp-FEM approximations on the so-called Spectral Boundary Layer Mesh for its approximation. We are mainly concerned with C1 conforming FEMs but we also consider a C0 mixed formulation approximation. From the point of view of regularity, we provide estimates that are explicit in the differentiation order and the singular perturbation parameter. Both classical differentiability as well as differentiability through asymptotic expansions are derived. Through the latter, we obtain a decomposition of the solution into a smooth part, boundary layers along the boundary, and a (negligible) remainder. Explicit regularity estimates are obtained for each part. The above are achieved for one-dimensional problems with variable (smooth) coefficients as well as two-dimensional problems with constant coefficients posed on smooth domains. Using the aforementioned results, we construct hp approximations that converge independently of the singular perturbation parameter, when the error is measured in the energy norm. In one-dimension the rate is exponential, while in two-dimensions, the rate, in general is spectral (unless certain assumptions are made). Moreover, in two-dimensions, we are faced with the problem of not being able to construct C1 approximations on curved elements (or even affine, distorted elements). One way to deal with this issue by using a mixed formulation, hence C0 elements suffice. Another, is the use of the Discontinuous Galerkin FEM, but only the former is investigated. In all cases studied, numerical results are provided which illustrated the theory.