The nonlinear parabolic thin obstacle problem

Abstract

Στόχος της παρούσας διατριβής είναι η ανάπτυξη της θεωρίας της ομαλότητας για Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ) και Προβλήματα Ελευθέρου Συνόρου τα οποία διέπονται από πλήρως μη-γραμμικούς παραβολικούς τελεστές. Το κείμενο χωρίζεται ουσιαστικά σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος ασχολείται με ένα ΠΣΤ ορισμένο σε ένα παραβολικό ημι-κύλινδρο όπου η συνοριακή συνθήκη είναι σε oblique derivative μορφή ενώ στο εσωτερικό ικανοποιείται μία πλήρως μη-γραμμική παραβολική εξίσωση. Αποδεικνύουμε εκλεπτυσμένες Hölder εκτιμήσεις, οι οποίες να ισχύουν μέχρι και το σύνορο, για τις πρώτες και δεύτερες παραγώγους λύσεων που ικανοποιούν το εν λόγω πρόβλημα μόνο με την έννοια του ιξώδους. Για να αποκτήσουμε αυτές τις εκτιμήσεις ακολουθούμε μία μέθοδο προσσέγγισης όπου προσπαθούμε να «προσεγγίσουμε», κατά μία έννοια, τη λύση μας με λύσεις οι οποίες να ικανοποιούν κάποια «βοηθητικά» προβλήματα, δηλάδη προβλήματα για τα οποία να έχουμε ήδη αναπτύξει την αντίστοιχη θεωρία ομαλότητας. Παρατηρούμε ότι αυτά τα «βοηθητικά» προβλήματα μπορούν να είναι ΠΣΤ με συνοριακές συνθήκες σε σταθερή oblique derivative μορφή. Για τον λόγο αυτό, επικεντρωνόμαστε αρχικά σε τέτοιου είδους προβλήματα τα οποία μπορούν να μετασχηματιστούν σε ΠΣΤ με συνοριακή συνθήκη Neumann, μετά από κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής η οποία να διατηρεί τον τελεστή «αμετάβλητο». Ως εκ τούτου, ένα μέρος της μελέτης μας εστιάζεται στην απόκτηση Hölder εκτιμήσεων για ΠΣΤ τύπου Neumann. Τέλος, για να μπορεί να εφαρμοστεί η τεχνική που περιγράψαμε πιο πάνω, είναι απαραίτητο να αποδείξουμε πρώτα μία εκτίμηση τύπου Aleksandrov-Bakelman-Pucci η οποία να είναι συμβατή με το πρόβλημά μας. Στο δεύτερο μέρος, μελετάμε ένα Πρόβλημα Λέπτου Εμποδίου (ή διαφορετικά, τύπου Signorini) το οποίο ορίζεται σε ένα παραβολικό ημι-κύλινδρο με μία πλήρως μη-γραμμική παραβολική εξίσωση στο εσωτερικό και το εμπόδιο να εμφανίζεται στο επίπεδο μέρος του παραβολικού συνόρου. Στόχος μας είναι να αποδείξουμε Hölder ομαλότητα πρώτης τάξεως, μέχρι και το σύνορο, για την αντίστοιχη λύση του ιξώδους. Για να το πετύχουμε, επικεντρωνόμαστε στο να δείξουμε ύπαρξη και ομαλότητα της κάθετης παραγώγου πάνω στο επίπεδο σύνορο. Αυτό θα μας επιτρέψει να κατανοήσουμε το πρόβλημα ως ένα μη-ομογενές Neumann ΠΣΤ, τότε τα αποτελέσματα του πρώτου μέρους θα μπορούν να εφαρμοστούν. Η προσέγγισή μας στο να δείξουμε την ομαλότητα της κάθετης παραγώγου στηρίζεται σε ιδιότητες ημί-κυρτότητας/κοιλότητας τις οποίες μπορούμε να αποδέιξουμε για τη λύση μας σε συγκεκριμένες κατευθύνσεις. Τα κύρια συστατικά τα οποία θα μας επιτρέψουν να εφαρμόσουμε επιτυχώς αυτή την προσέγγιση είναι οι αρχές σύγκρισης λύσεων και επιχειρήματα τύπου barrier τα οποία μπορούν να εφαρμοστούν σε προβλήματα που περιλαμβάνουν τελεστές σε μορφή μη-απόκλισης. Η έρευνα που παρουσιάζεται στην συγκεκριμένη διατριβή, συμβάλλει τόσο στην πλήρωση της βασικής παραβολικής θεωρίας, όσο και στην ανάπτυξη της πρωταρχικής θεωρητικής βάσης η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αυστηρή μαθηματική ανάλυση προβλημάτων που συνδέονται άμεσα με τις εφαρμογές στις θετικές επιστήμες.

The main purpose of the present thesis is to develop regularity theory concerning Boundary Value Problems (BVPs) and Free Boundary Problems governed by fully nonlinear parabolic operators. The text is essentially divided into two parts. The first part deals with an oblique derivative BVP with a fully nonlinear parabolic equation in the interior of a parabolic half-cylinder. We derive delicate Hölder estimates for the first and second derivatives of the corresponding viscosity solution up to the flat boundary. The key technique to obtain these estimates is an “approximation method” where, roughly speaking, we approximate inductively our solution by solutions that satisfy “auxiliary” problems, that is problems for which we have already developed the desired estimates. We observe that the role of these “auxiliary” problems can be acted by constant oblique derivative problems. Therefore, we first concentrate our study to these problems which under a suitable change of variables that keep the operator “invariant” can be transformed into the special case of Neumann BVPs. On that account, a part of our theory is focused on developing the Hölder regularity theory for Neumann BVPs. Finally, for our approach to be successful, we first need to derive an oblique derivative-version of the so-called Aleksandrov-Bakelman-Pucci estimate which will be compatible to our situation. In the second part, we study a thin obstacle problem (or Signorini’s-type problem) with a fully nonlinear parabolic equation in the interior of a parabolic half-cylinder and an obstacle that appears on the flat part of the parabolic boundary. The aim is to show first order Hölder regularity for the viscosity solution up to the flat boundary. To achieve this regularity, we focus on showing existence and regularity of the normal derivative on the flat boundary which will allow us to treat the problem as a non-homogeneous Neumann BVP and consequently the results of the first part will be applicable. Our approach in showing the regularity of the normal derivative relies heavily on the semi-convexity/concavity properties of the solution in certain directions, properties which we can derive. The main ingredients that allow us to go through this approach are the comparison principles and the barrier-type arguments which are applicable to non-divergence-type problems. The research presented in this thesis, not only contributes to the completion of the standard parabolic regularity theory but also produces the primary theory suitable for a rigorous mathematical analysis for problems with immediate connections to applications in other sciences.