Η κατάκτηση του απείρου από την αρχαιότητα ως σήμερα

Abstract

Η παρούσα Μεταπτυχιακή Διατριβή, έχει ως κύριο σκοπό της την ανάδειξη του τρόπου με τον οποίο μαθηματικοί και φιλόσοφοι προσπάθησαν να προσεγγίσουν την έννοια του απείρου, να συμφιλιωθούν μαζί της, να τη δαμάσουν και να τη χρησιμοποιήσουν ως εργαλείο επίλυσης προβλημάτων και ερμηνείας φαινομένων. Η έννοια του απείρου, κέντρισε το ενδιαφέρον πολλών επιστημόνων και διαδραμάτισε κεντρικό ρόλο στην εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης. Αποτελεί μία από τις μεγαλύτερες προκλήσεις για την ανθρώπινη νόηση και ένα από τα μεγαλύτερα ζητήματα, που κλήθηκαν να αντιμετωπίσουν οι μαθηματικοί. Κάθε πνευματικό ον, αντιλαμβάνεται την έννοια του απείρου στο πλαίσιο της δικής του φαντασίας και εμπειρίας. Οι προσπάθειες να εδραιωθεί η έννοια του απείρου στα Μαθηματικά, άρχισαν από νωρίς, περίπου από το 400 π.Χ., κάτι το οποίο δεν επιτεύχθηκε μέχρι το τέλος του 19ου αιώνα. Βαθιά ριζωμένη, είναι η σύγκρουση του απείρου και του πεπερασμένου, κατά την προσπάθεια προσέγγισης και κατανόησης της ιδέας του απείρου. Πολλοί ήταν αυτοί, που εισηγήθηκαν την αποφυγή χρήσης του απείρου στα Μαθηματικά. Αρχικά, στην εργασία αυτή παρουσιάζεται η γέννηση της ορθολογικής σκέψης και η τεράστια συμβολή των αρχαίων Ελλήνων στη δημιουργία της Φιλοσοφίας. Έπειτα, γίνεται αναφορά στα πιστεύω σπουδαίων Ελλήνων φιλοσόφων, μεταξύ άλλων, του Αναξίμανδρου και του Αριστοτέλη, οι οποίοι ασχολήθηκαν με την έννοια του απείρου. Μάλιστα, ο Αριστοτέλης διαχώρισε το άπειρο σε δύο είδη: το εν δυνάμει και το εν ενεργεία. Εν συνεχεία, η παρούσα μελέτη πραγματεύεται και θέτει ορισμένα ερωτήματα σε σχέση με το άπειρο και τη σημασία του στα Μαθηματικά, ως κάτι το ανεξάντλητο και το θαυματουργό. Ακολούθως, μελετιούνται ορισμένες δυσκολίες που εμφανίστηκαν τον 15ο αιώνα σε σχέση με τα αθροίσματα, καθώς επίσης και τον 18ο αιώνα σε σχέση με τα απειροστά. Η εργασία προχωρά, κάνοντας μια ιστορική αναδρομή σε μαθηματικούς σταθμούς, καίριους για την ανάπτυξη του απείρου και γενικότερα την καλλιέργεια των Μαθηματικών στην οποία οι Έλληνες έχουν εξέχουσα θέση. Η αναδρομή ξεκινά με μια αναφορά στη Γεωμετρία του Θαλή και στη συνέχεια, επικεντρώνεται στο έργο του Πυθαγόρα και πως από τη θεώρησή του ότι τα πάντα στο σύμπαν είναι ρητοί αριθμοί, κατέληξε στην αποκάλυψη της ασσυμετρίας. Επίσης, παρουσιάζονται τα παράδοξα του Ζήνωνα σε σχέση με το άπειρο, τα οποία οδήγησαν πολλούς μαθηματικούς στην περεταίρω και ουσιαστικότερη άνοδο των Μαθηματικών. Μετέπειτα, καταγράφονται οι αξιόλογες παρακαταθήκες του Ευδόξου και του Ευκλείδη. Δίνεται έμφαση, ακόμα, στον θρίαμβο του Αρχιμήδη, που αποτελεί ορόσημο για τα σημερινά Μαθηματικά. Επιπλέον, μελετιούνται οι άπειρες σειρές και η σύγκλισή τους. Παρατίθενται οι αντιλήψεις και η σχέση σπουδαίων μαθηματικών με το άπειρο και η θεμελίωση του Απειροστικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού. Παράλληλα, συζητιέται η επική προσπάθεια επίλυσης του διασημότερου Μαθηματικού Γρίφου, που δεν είναι άλλος από «Το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat». Κατόπιν, παρουσιάζεται διεξοδικά η συμβολή του Cantor, ο οποίος είναι υπεύθυνος για την αυστηρή θεμελίωση του απείρου στα Μαθηματικά. Στην προσπάθειά του αυτή, δημιούργησε τον αξιοσημείωτο κλάδο των Μαθηματικών, τη Θεωρία Συνόλων. Συγχρόνως, προβάλλεται η θεμελίωση των συνόλων, καθώς και οι αντινομίες τους. Επιπρόσθετα, γίνεται λόγος για την αξιωματική θεωρία των Zermelo-Fraenkel και για την Υπόθεση του Συνεχούς. Στη συνέχεια, η διατριβή εστιάζει στην ανακούφιση που προκάλεσε ο Peano, με την απάντηση που έδωσε σ’ ένα εύλογο ερώτημα που ταλάνιζε τη μαθηματική κοινότητα και το οποίο θα κλόνιζε όλες τις μέχρι τότε ανακαλύψεις. Ακολούθως, γίνεται μελέτη μιας επαναστατικής δημιουργίας των Μαθηματικών σε σχέση με τη Γεωμετρία, οι Μη-Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Τέλος, η εργασία ολοκληρώνεται με μια πρόσφατη κατάκτηση σε σχέση με το άπειρο, η οποία δόθηκε από τον Dirac.

The main purpose of this Master’s Thesis, is to try to give an insight regarding the way, in which mathematicians and philosophers have tried to approach the notion of infinity, to reconcile with it, to tame it and to use it as a tool for solving problems and interpreting of phenomena. The notion of infinity has attracted the interest of many scientists and have played a central role in the development of mathematical thought. It is one of the greatest challenges for human intellect and one of the greatest challenges that mathematicians were called upon to deal with. Every spiritual human being perceives the meaning of infinity in the context of its own imagination and experience. The efforts to establish the meaning of the infinity in Mathematics, began around 400 b.C. if not before, something that was not achieved until the end of the 19th century. Deeply rooted, is the conflict of the infinity and the finite, in the effort to approach and understand the ideal of the infinity. There were many notable (if not great) mathematicians, who tried to avoid the notion of infinity from Mathematics. This study begins with the birth of rational thinking and the paramount contribution of the ancient Greeks to the creation of Philosophy. Next, a reference to the works of great philosophers follows, including Anaximander and Aristotle. In fact, Aristotle divided the infinity into two types: the potential and the actual. Then, the study presents and, in particular, poses some questions about the infinity and its importance in Mathematics, as something inexhaustible and miraculous. Some difficulties that appeared in the 15th century in relation to sums are studied, followed by the 18th century in relation to infinities. The study continues by making a historical review to mathematical peaks in motivating development, crucial for the development of the infinity and the cultivation of the Mathematics in general in which Greeks have made enormous contributions. The historical review begins with a reference to the Geometry of Thales and then focuses on the work of Pythagoras, who based his philosophy in the belief that everything in the universe is rational numbers, but he concluded to the revealing of the asymmetry. Also, the Zeno’s paradoxes related to infinity are presented, which led many mathematicians to the further and substantial rise of Mathematics. The remarkable achievements of Eudoxus and Euclid are also recorded. Emphasis is placed upon the triumph of Archimedes, which is a milestone in the history of Mathematics. In addition, the infinite series and their convergence are studied. The perception and the relation of Mathematics with infinity are presented including the (Infinitesimal and Integral Calculus). At the same time, the epic attempt to solve the most famous mathematical riddle is discussed, which is no other than “The Fermat’s Last Theorem”. Next, the great contributions of Cantor, who is responsible for the correct perception of infinity in Mathematics, is presented in detail. In this endeavor, he created a remarkable branch of Mathematics, called the Cantorian Set Theory. Alongside, the foundation of the sets, as well as their antinomies are mentioned. Furthermore, a reference to the Zermelo-Fraenkel axiom theory and the Continuum Hypothesis is made. The thesis then focuses on the relief caused by Peano, who answered a reasonable question that bewildered the mathematical community back then. Next, a revolutionary creation of Mathematics is studied in relation to Geometry, the Non-Euclidean Geometries. Finally, the study is completed with the latest conquest regarding the infinity, which was given by Dirac.