Μαθηματική αναλογική σκέψη: ένα πολυδιάστατο γνωστικό μόντελο

Abstract

Η θεμελιώδης σημασία της έννοιας της αναλογίας στη ζωή του ανθρώπου είχε ως αποτέλεσμα να γίνουν από πολύ νωρίς συστηματικές προσπάθειες ορισμού της (Kline, 1990). Σήμερα φαίνεται να υπάρχουν κενά στον ορισμό της ικανότητας που σχετίζεται με την εφαρμογή της έννοιας της αναλογίας και ειδικότερα της ικανότητας για μαθηματική αναλογική σκέψη (Lamon, 1999a). Παραδοσιακά η μαθηματική αναλογική σκέψη έχει θεωρηθεί συνώνυμη με την ικανότητα επίλυσης τυπικών αναλογικών προβλημάτων (Lesh, Post & Behr, 1988; Misailidou & Williams, 2003). Έρευνες γύρω από το φαινόμενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας (De Bock, Verschaffel & Janssens, 1998; Modestou & Gagatsis, 2004a; Van Dooren, 2005) υποδεικνύουν ότι αυτή η θεώρηση της μαθηματικής αναλογικής σκέψης δεν μπορεί να ισχύει απόλυτα. Οι μαθητές ανεξαρτήτως ηλικίας, ενώ επιτυγχάνουν στην επίλυση τυπικών αναλογικών προβλημάτων, αποτυγχάνουν στο να τα διακρίνουν από άλλα μη αναλογικά προβλήματα (Modestou & Gagatsis, 2004b). Ως αποτέλεσμα της αποτυχίας διάκρισης των αναλογικών από τις μη αναλογικές καταστάσεις, δημιουργείται στους μαθητές μια “ψευδαίσθηση” για την ύπαρξη αναλογίας, με αποτέλεσμα να χρησιμοποιούν αναλογικές στρατηγικές για να επιλύσουν ακόμη και τα μη αναλογικά έργα. Τα στοιχεία αυτά αποτέλεσαν τη βάση για επιβεβαίωση της ύπαρξης ενός θεωρητικού μοντέλου ερμηνείας της μαθηματικής αναλογικής σκέψης, η οποία ήταν και βασικός σκοπός της ερευνητικής εργασίας. Στα πλαίσια του μοντέλου αυτού διερευνήθηκε το φαινόμενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας ως αναπόσπαστο μέρος της μεταγνωστικής διάστασης της μαθηματικής αναλογικής σκέψης. Ταυτόχρονα έγινε προσπάθεια καθορισμού της φύσης του φαινομένου της ψευδαίσθησης της αναλογίας και αποτελεσματικής αντιμετώπισής του με την οργάνωση μιας κατάλληλης διδακτικής παρέμβασης, κάτι που δεν έχει επιτευχθεί μέχρι σήμερα. Η έρευνα υλοποιήθηκε σε δύο φάσεις. Η πρώτη φάση αφορούσε στη συλλογή ποσοτικών δεδομένων κατά την οποία χορηγήθηκαν τρία διαφορετικά δοκίμια σε μαθητές της Ε’ Δημοτικού μέχρι τη Γ’ Γυμνασίου. Τα δοκίμια αφορούσαν στο χειρισμό αναλογικών και μη αναλογικών καταστάσεων οι οποίες παρουσιάζονταν σε διαφορετικά πλαίσια. Στη δεύτερη φάση διεξάχθηκε μια διδακτική παρέμβαση στη Στ’ Δημοτικού, η οποία στόχευε στον περιορισμό του φαινομένου της ψευδαίσθησης της αναλογίας. Τα ευρήματα έχουν επιβεβαιώσει την ύπαρξη ενός πολυδιάστατου μοντέλου ερμηνείας της μαθηματικής αναλογικής σκέψης, συνεισφέροντας στον προσδιορισμό της ίδιας της έννοιας. Στην έννοια της μαθηματικής αναλογικής σκέψης δεν περιλαμβάνεται αποκλειστικά η ικανότητα επίλυσης μαθηματικών αναλογικών έργων (μαθηματικός αναλογικός συλλογισμός), αλλά και η ικανότητα χειρισμού αναλογικών καταστάσεων σε ένα πλαίσιο μη μαθηματικό (αναλογικός συλλογισμός). Αναπόσπαστο μέρος της έννοιας της μαθηματικής αναλογικής σκέψης αποτελεί και η ικανότητα καθορισμού και διάκρισης των αναλογικών χαρακτηριστικών μιας κατάστασης, συνιστώντας τη μεταγνωστική διάσταση της έννοιας. Κάτω από αυτή τη διάσταση της μετα-αναλογικής ενημερότητας εντάσσεται και μπορεί να μελετηθεί το φαινόμενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας. Εκτός από το μοντέλο μαθηματικής αναλογικής σκέψης, η ερευνητική εργασία κατάφερε να καθορίσει τη φύση του εμποδίου πίσω από το φαινόμενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας και να δείξει ότι το εμπόδιο δεν είναι αποκλειστικά αναπτυξιακό και διδακτικό, αφού ο τρόπος που οι μαθητές χειρίζονται τα μη αναλογικά έργα δεν οφείλεται σε μια δυσκολία ή απουσία γνώσης αλλά σε μια σταθερή γνώση. Η γνώση της αναλογίας όπως αυτή παρεμβαίνει στην επίλυση των αναλογικών έργων αποτελεί επιστημολογικό εμπόδιο για την μετα-αναλογική ενημερότητα των μαθητών και άρα για την ικανότητα διάκρισης και επίλυσης μη αναλογικών έργων. Ο καθορισμός της φύσης του φαινομένου είναι καθοριστικός και για την αντιμετώπισή του, η οποία όπως φάνηκε μπορεί να επιτευχθεί μέσα από την οργάνωση και την εφαρμογή μιας κατάλληλης διδακτικής κατάστασης.

Proportionality’s fundamental importance for everyday life, resulted in early systematic attempts towards the definition of the concept (Kline, 1990). Today however, gaps appear in defining those elements that are directly connected with the ability to use proportions and therefore think proportionally (Lamon, 1999a). Traditionally, proportional thinking has been considered synonymous with the ability to solve proportional missing-value problems (Lesh, Post & Behr, 1998; Misailidou & Williams, 2003). However, research on the illusion of linearity (De Bock, Vershaffel & Janssens, 1998; Modestou & Gagatsis, 2004a; Van Dooren, 2005) suggests that this typical approach of proportional reasoning is not comprehensive. Pupils, irrespective of age, even though succeeding in solving typical proportional problems, they fail to distinguish between proportional and non-proportional situations (Modestou & Gagatsis, 2004b). As a result of this failure, an illusion of the existence of linearity is created in pupils, resulting in the use of proportional strategies for the solution of even non-proportional situations. These facts constituted the foundation for confirming the existence of a theoretical model of interpreting the ability for proportional reasoning, which was the main purpose of this research. At the same time, this research aimed at the definition of the nature of the phenomenon of the illusion of linearity, as well as at the designation of the phenomenon as an indispensable part of the new model of proportional reasoning. Finally, an attempt has been made towards the organisation and implementation of a suitable didactic situation that would resolve in the confrontation of the illusion of linearity, something that has not been successfully achieved so far. The research was completed in two phases. The first phase was quantitative and therefore, three different tests including analogical, proportional and non-proportional situations were administered to pupils ranging from the 5th grade of primary school to the 3rd grade of secondary school. In the second phase, a teaching intervention took place in the sixth grade of primary school, which aimed at the limitation of pupils’ tendency to apply proportional strategies for the solution of non linear situations. The results confirmed the existence of a multi-dimensional model of proportional thinking, contributing in this way at the definition of the concept. In this model, the dimensions of analogical reasoning, proportional reasoning and meta-analogical awareness take a constitutive part. Thus, proportional thinking does not coincide exclusively with the ability to solve proportional problems (proportional reasoning), but it also involves the ability to handle verbal and arithmetical analogies (analogical reasoning) together with the ability to discern and solve non-proportional situations (meta-analogical awareness), which is metacognitive in nature. This research has also succeeded in determining the nature of the phenomenon of the illusion of linearity. The obstacle behind pupils’ tendency to apply proportional strategies to non proportional situations is not exclusively developmental or didactical, as it does not appear due to a lack of a specific knowledge. On the contrary, linearity constitutes an epistemological obstacle for pupils’ meta-analogical awareness and therefore for their ability to handle non-proportional situations. The definition of the nature of the obstacle led to the implementation of an intervention program with a suitable didactical situation. The results of this implementation have indicated a successful way of dealing with the obstacle, as pupils managed to question the universal remedy of the linear model despite their initial difficulties.