Η δομή και η ανάπτυξη της αλγεβρικής σκέψης

Abstract

Σκοπός της εργασίας ήταν η ανάπτυξη ενός θεωρητικού μοντέλου που να περιγράφει την ικανότητα αλγεβρικής σκέψης μαθητών ηλικίας δέκα με δεκατριών ετών. Η ικανότητα αλγεβρικής σκέψης εξετάστηκε ως προς τέσσερις πτυχές: (α) τη δομή της ικανότητας, (β) την περιγραφή της ανάπτυξης της ικανότητας, (γ) τη σχέση της με την ικανότητα αναλογικού συλλογισμού και (δ) τον αναλογικό συλλογισμό ως μέσο για την έκφραση και ανάπτυξη της ικανότητας. Συγκεκριμένα, όσον αφορά στην τέταρτη πτυχή, αξιοποιήθηκαν έργα αναλογικού συλλογισμού με αλγεβρικό περιεχόμενο για τη διερεύνηση των προσεγγίσεων αναλογικού συλλογισμού και του τρόπου εμφάνισής τους στους μαθητές διαφορετικής ικανότητας αλγεβρικής σκέψης. Παράλληλα, εξετάστηκε κατά πόσο τα συγκεκριμένα έργα ενθάρρυναν τους μαθητές να επιδείξουν βελτιωμένη ικανότητα αλγεβρικής σκέψης. Στην έρευνα συμμετείχαν 803 μαθητές Ε΄ και Στ΄ δημοτικού και Α΄ γυμνασίου. Χορηγήθηκε ένα εργαλείο για τη μέτρηση της ικανότητας αλγεβρικής σκέψης και ένα για τη μέτρηση της ικανότητας αναλογικού συλλογισμού. Ακολούθησαν ατομικές συνεντεύξεις στις οποίες 101 μαθητές κλήθηκαν να λύσουν επτά έργα αναλογικού συλλογισμού με αλγεβρικό περιεχόμενο. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι η ικανότητα αλγεβρικής σκέψης αποτελείται από τρεις παράγοντες δεύτερης τάξης και οκτώ παράγοντες πρώτης τάξης: (α) την «ικανότητα συλλογισμού για τη συμμεταβολή» που αναλύεται στη «γενίκευση μοτίβων συμμεταβολής» και στη «μεταβολή των τιμών δύο μεταβλητών με βάση κανόνες», (β) την «ικανότητα γενίκευσης ιδιοτήτων από την αριθμητική» η οποία αναλύεται στη «γενίκευση ιδιοτήτων των πράξεων», στη «γενίκευση ιδιοτήτων των αριθμών» και στη «γενίκευση των ιδιοτήτων της ισότητας» και (γ) τις «ικανότητες που είναι άμεσα συνυφασμένες με την αλγεβρική σύνταξη», παράγοντας που αναλύεται στην «εύρεση της τιμής του αγνώστου», στη «μοντελοποίηση σχέσεων μέσω αλγεβρικών συμβόλων» και στην «εκτέλεση πράξεων με αλγεβρικά σύμβολα». Εμφανίστηκαν στατιστικά σημαντικές συσχετίσεις μεταξύ των παραγόντων δεύτερης τάξης και ιεραρχική σχέση μεταξύ των παραγόντων πρώτης τάξης εντός κάθε παράγοντα δεύτερης τάξης. Εντοπίστηκαν τέσσερις ομάδες μαθητών διαφορετικής ικανότητας αλγεβρικής σκέψης. Η δραστηριότητά της πρώτης ομάδας χαρακτηρίστηκε ως «προ-αλγεβρική» εφόσον ενέπλεκε υπολογισμούς με αριθμούς για την εύρεση του αμέσως επόμενου όρου ενός μοτίβου και του αγνώστου σε απλές εξισώσεις και οι μαθητές παρουσίασαν χαμηλή επίδοση σε όλες τις ικανότητες αλγεβρικής σκέψης. Η δραστηριότητα της δεύτερης ομάδας χαρακτηρίστηκε ως «διαδικαστική-πρωτοαλγεβρική δραστηριότητα» καθώς παρουσιάστηκε επιτυχία σε έργα γενίκευσης, επίλυσης εξισώσεων και συλλογισμού για τη συμμεταβολή τα οποία επέτρεπαν διαδικαστική προσέγγιση και απαιτούσαν διαδικαστική αντίληψη του συμβόλου της ισότητας. Η δραστηριότητα της τρίτης ομάδας χαρακτηρίστηκε ως «συσχετιστική-συμβολική δραστηριότητα αλγεβρικής σκέψης» λόγω της ικανότητας των μαθητών να μοντελοποιούν σχέσεις μέσω αλγεβρικών συμβόλων και να συλλογίζονται για τις εξισώσεις και τις ισότητες με συσχεσιακό τρόπο. Η δραστηριότητα της τέταρτης ομάδας χαρακτηρίστηκε ως «δομική-καθολική δραστηριότητα αλγεβρικής σκέψης» αφού παρουσιάστηκε ικανότητα απλοποίησης αλγεβρικών εκφράσεων και ψηλή επίδοση σε όλες τις ικανότητες αλγεβρικής σκέψης. Η ικανότητα αναλογικού συλλογισμού των μαθητών αποτελεί ισχυρό παράγοντα πρόβλεψης της ικανότητας αλγεβρικής σκέψης. Εντοπίστηκαν τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις αναλογικού συλλογισμού οι οποίες εμφανίζονται σειριακά: η επιφανειακή, η μεταβατική και η δομική προσέγγιση. Η υιοθέτηση των τριών προσεγγίσεων διαφοροποιείται ανάμεσα στους μαθητές των τεσσάρων ομάδων αλγεβρικής σκέψης. Παρουσιάστηκαν ενδείξεις βελτίωσης της επίδοσης στις ικανότητες αλγεβρικής σκέψης, από μαθητές της δεύτερης και της τρίτης ομάδας αλγεβρικής σκέψης, κατά την επίλυση των έργων των συνεντεύξεων.

The purpose of this study was to develop a theoretical model regarding ten to thirteen year old students’ algebraic thinking ability. Algebraic thinking ability was investigated according to four aspects: (a) the structure of this ability, (b) the description of the way it develops, (c) its relation to analogical reasoning and (d) analogical reasoning as means for revealing and developing this ability. Regarding the fourth aspect, analogical reasoning tasks with algebraic content were used to investigate the analogical reasoning approaches and the way they appeared to students who varied in algebraic thinking ability. At the same time, another examination was carried out regarding the usefulness of this type of tasks in encouraging students to show improved algebraic thinking ability. Eight hundred and three students, aged 10-13, participated in this study. Two tests were administered, one measuring algebraic thinking ability and another one measuring analogical reasoning ability. Clinical interviews with 101 students were conducted in which students had to solve seven analogical reasoning tasks with algebraic content. The results showed that algebraic thinking ability consists of three second order and eight first order factors: (a) the “ability to reason about covariation”, which is analyzed in “generalization of patterns-relations concerning covarying quantities” and “finding corresponding values of variables based on rules”, (b) the “ability to generalize properties from arithmetic” which is analyzed in “generalization of properties of operations”, “generalization of properties of numbers” and “generalization of properties of equality” and (c) “abilities related to algebraic syntax” which is analyzed in “finding the value of the unknown”, “modeling relations using algebraic symbols” and “simplification of algebraic expressions”. Statistically significant relations were found among the second order factors, as well as, a hierarchical relation among the first order factors within each second order factor. Four distinct groups of algebraic thinking ability were identified. Students of the first group indicated low achievement in all algebraic thinking abilities and used calculations with numbers to find only the next term of a pattern and the unknown in simple equations; thus, their activity was named as “pre-algebraic”. Students of the second group were successful in tasks that allowed procedural approaches and involved only the procedural conception of the equal sign; thus, their activity was named as “protoalgebraic-procedural”. Students of the third group were able to model relations through algebraic symbols and to reason about equalities and equations relationally; thus, their activity was named as “relational-symbolic algebraic thinking activity”. Students of the fourth group were able to simplify algebraic expressions and showed high performance in all algebraic thinking abilities; thus, their activity was named as “structural-global algebraic thinking ability”. Analogical reasoning ability is a strong predictive factor of algebraic thinking ability. Three different analogical reasoning approaches were identified which appear sequentially: surface similarity, transitive and structural similarity. The adoption of the three approaches was differentiated among the students of the four algebraic thinking groups. Students of the second and third algebraic thinking groups provided indications of improvement regarding algebraic thinking abilities while they were solving the interview tasks.