The modeling perspective in the teaching and learning of mathematical probem solving: doctoral dissertation

Abstract

Σκοπό της παρούσας εργασίας αποτέλεσε η ανάγκη για ανάπτυξη και επέκταση της θεωρίας για τη μοντελοποίηση ως διαδικασία λύσης προβλήματος στα μαθηματικά. Ο σκοπός της παρούσας εργασίας αναλύεται σε δύο διαστάσεις. Η πρώτη διάσταση αναφέρεται στη διερεύνηση των διαδικασιών μοντελοποίησης στη λύση προβλήματος και στην εξέταση των παραγόντων που επηρεάζουν τις διαδικασίες μοντελοποίησης. Η δεύτερη διάσταση αναφέρεται στη διερεύνηση της αποτελεσματικότητας ενός παρεμβατικού προγράμματος στις δεξιότητες μοντελοποίησης των μαθητών. Στην έρευνα συμμετείχαν δεκαέξι τμήματα Στ’ δημοτικού και Β’ γυμνασίου. Συγκεκριμένα, στην πειραματική ομάδα συμμετείχαν τέσσερα τμήματα Στ’ δημοτικού και τέσσερα τμήματα B’ γυμνασίου. Οι μαθητές αυτοί εργάστηκαν με τις δραστηριότητες μοντελοποίησης που σχεδιάστηκαν για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας για τρεις μήνες. Στην ομάδα ελέγχου συμμετείχαν, επίσης, τέσσερα τμήματα Στ’ δημοτικού και τέσσερα τμήματα B’ γυμνασίου. Η ανάλυση των αποτελεσμάτων της εργασίας οδήγησε στην ανάπτυξη ενός αναλυτικού και επεξηγηματικού πλαισίου για τις διαδικασίες μοντελοποίησης. Το επεξηγηματικό πλαίσιο παρουσιάζει μια αναλυτική και σε βάθος περιγραφή των διαδικασιών και υπό-διαδικασιών μοντελοποίησης που χρησιμοποιούν οι μαθητές στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Τα αποτελέσματα της εργασίας έδειξαν, επίσης, ότι μια σειρά από άλλους παράγοντες επηρεάζουν τη διαδικασία μοντελοποίησης. Οι παράγοντες αυτοί εστιάζονται: (α) στην εμπειρία των μαθητών να εργάζονται με δραστηριότητες μοντελοποίησης, (β) στο πλαίσιο των δραστηριοτήτων μοντελοποίησης, (γ) στην αξιοποίηση τεχνολογικών εργαλείων κατά την επίλυση των προβλημάτων μοντελοποίησης, (δ) στην ηλικία των μαθητών και (ε) στις δεξιότητες μοντελοποίησης των μαθητών. Οι μαθητές που συμμετείχαν στην έρευνα κατάφεραν να επιλύσουν με επιτυχία τα προβλήματα που δόθηκαν στο πλαίσιο των δραστηριοτήτων μοντελοποίησης. Οι μαθητές της Β’ γυμνασίου κατασκεύασαν πιο σύνθετα και πιο αποτελεσματικά μοντέλα για την επίλυση των προβλημάτων που δόθηκαν, σε σχέση με τους μαθητές της Στ’ δημοτικού. Οι μαθητές της Β’ γυμνασίου κατάφεραν, επίσης, να υιοθετήσουν u954 και να μεταφέρουν πιο εύκολα τα μοντέλα που είχαν κατασκευάσει μεταξύ των διαφόρων δραστηριοτήτων, ενώ είχαν πιο αποτελεσματική επικοινωνία μεταξύ τους η οποία βοήθησε στη βελτίωση των προτεινομένων λύσεων. Στο πλαίσιο της ανάλυσης των δεξιοτήτων μοντελοποίησης, η έρευνα επιβεβαίωσε την ύπαρξη μιας αναπτυξιακής τάσης από τις δεξιότητες μοντελοποίησης σε προβλήματα λήψης απόφασης στις δεξιότητες μοντελοποίησης σε προβλήματα ανάλυσης συστήματος και σχεδιασμού και στη συνέχεια στις δεξιότητες μοντελοποίησης σε προβλήματα αναγνώρισης και επίλυσης δυσλειτουργιών σε συστήματα. Το παρεμβατικό πρόγραμμα που εφαρμόστηκε είχε σημαντική επίδραση στις δεξιότητες μοντελοποίησης των μαθητών. Συγκεκριμένα, ο ρυθμός ανάπτυξης των δεξιοτήτων μοντελοποίησης των μαθητών της Στ’ δημοτικού που συμμετείχαν στην πειραματική ομάδα ήταν δυόμιση φορές μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο ρυθμό ανάπτυξης των μαθητών που συμμετείχαν στην ομάδα ελέγχου. Παρομοίως, ο ρυθμός ανάπτυξης των δεξιοτήτων μοντελοποίησης των μαθητών της Β’ γυμνασίου που συμμετείχαν στην πειραματική ομάδα ήταν τρεις φορές μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο ρυθμό ανάπτυξης για τους μαθητές της ομάδας ελέγχου. Το παρεμβατικό πρόγραμμα για την ανάπτυξη των δεξιοτήτων μοντελοποίησης ήταν, επίσης, περισσότερο αποτελεσματικό για τους μαθητές με χαμηλότερες αρχικές τιμές στη μέτρηση των δεξιοτήτων μοντελοποίησης. Η σημασία και καινοτομία της παρούσας εργασίας επικεντρώνεται στην ανάπτυξη ενός θεωρητικού μοντέλου για τις διαδικασίες μοντελοποίησης που χρησιμοποιούν οι μαθητές στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Το θεωρητικό μοντέλο παρουσιάζει μια αναλυτική περιγραφή των διαδικασιών και υπό-διαδικασιών μοντελοποίησης και περιγράφει τους παράγοντες που επηρεάζουν τις διαδικασίες μοντελοποίησης. Το θεωρητικό μοντέλο έχει εφαρμογές στο σχεδιασμό δραστηριοτήτων μοντελοποίησης, στη διδασκαλία της μαθηματικής μοντελοποίησης ως μέσου για την ανάπτυξη της ικανότητας λύσης προβλήματος των μαθητών και στη διδασκαλία για ανάπτυξη των ικανοτήτων μοντελοποίησης των μαθητών.

The purpose of the present study was the further development of the theory for the models and modeling perspective in problem solving, as it is proposed by Lesh and Doerr (2003). This new learning theory is expected to contribute in deeper understanding of the modeling processes that appear in students’ work in solving real world problems. The theory also aims to trace how students’ modeling abilities evolve over time. The theory is finally expected to contribute to a better understanding of modeling as a didactic means in mathematical problem solving. Two student populations enrolled in one experimental and one control group were involved. The experimental group, consisted of four 6th grade and four 8th grade classes, was provided a curriculum of six modeling activities. Each activity lasted about four 40 minute sessions. Each activity contained a real world problem under consideration and required students to produce an explanation, method, or description for solving the problem in small groups. The control group, consisted of four 6th grade and four 8th grade classes, was given the school textbooks. The duration of the program was three months. Using a grounded theory approach to qualitative research, through a detailed analysis of the modeling processes appeared in students’ work in modeling activities, an analytical and explanatory framework has been developed. This framework takes into account students’ mathematical developments and students’ interactions in their groups. Before, during and after the treatment, all students in experimental and control groups were given the same assessment, involving a set of modeling problems. Student responses were evaluated towards identifying how students’ modeling abilities evolved during time and what was the impact of the intervention program. Data analysis revealed that the modeling processes significantly progressed across students’ work in the modeling activities sequence. Results showed that students in both 6th and 8th grade experimental groups exhibited significant modeling processes and were involved in meaningful mathematical problem solving in a short time period. Results also showed that 8th graders constructed more complex and refined models in comparison to 6th graders. Eight graders also adopted and transformed more easily existing models, better communicated their results and reflected on their solutions. Quantitative data analysis confirmed that there was a developmental trend in students’ modeling abilities in the three categories of modeling problems, namely decision v making, system analysis and design and trouble shooting problems. Analysis also revealed that the intervention program had a significant impact on the students’ modeling abilities, indicating that experimental group students in both 6th and 8th grade levels had significant better modeling abilities’ rates of change compared to their counterparts. Analysis also revealed that the intervention program was more effective for students with lower initial achievement scores in the modeling abilities test. The study resulted in a more comprehensive theoretical approach to the existing modeling procedure described in the literature (Lesh & Doerr, 2003). The new model added new modeling processes, further analyzed existing processes and incorporated other factors that influence the modeling procedure. The new model has implications for the design of model eliciting activities, for teaching mathematical modeling as a didactic means for mathematical problem solving and for teaching for improving students’ modeling abilities. The study concludes that further research is needed for developing a unify theory for the models and modeling perspective. Finally, implications for researchers and teachers and directions for further research are provided.