Statistical inference for multi-state reliability systems

Abstract

Η παρούσα διατριβή θα επικεντρωθεί σε multi-state systems (MSS) τα οποία μοντελοποιούμε με τη βοήθεια των ημιμαρκοβιανών διαδικασιών. Για το λόγο αυτό, οι ημιμαρκοβιανές διαδικασίες είναι καταλληλότερες σε μελέτες αξιοπιστίας (για εφαρμογές γενικότερα). Το κύριο αντικείμενο μελέτης στην περίπτωση αυτή είναι η πιθανότητα μετάβασης από τηνκατάσταση i στην κατάσταση j. Σημειώνεται ότι στην πιο πάνω περίπτωση, ο χρόνος t αντιπροσωπεύει το χρόνο παραμονής στην κατάσταση i πριν από τη μετάβαση στην κατάσταση j. Παρόλο που στη βιβλιογραφία συχνά ο χρόνος αυτός θεωρείται ότι ακολουθεί την Εκθετική κατανομή, εντούτοις μπορούν να θεωρηθούν κι άλλες κατανομές με πιο βαριές ουρές. Πολύ συχνά, στη θεωρία αξιοπιστίας, στην οικονομία, στη φυσική αλλά και στη μηχανική, το ενδιαφέρον έγκειται στην εμφάνιση ή όχι εξαιρετικών ή σπάνιων γεγονότων. Όλα τα σπάνια γεγονότα αλλά και ο ρυθμός με τον οποίο συμβαίνουν συνδέονται τόσο με τη μορφή όσο και με το πόσο βαριά είναι η ουρά της κατανομής. Επειδή οι αποτυχίες μπορούν να θεωρηθούν ως σπάνια γεγονότα, οι κατανομές με πιο βαριές ουρές μπορούν να θεωρηθούν ως καταλληλότερες για την περιγραφή των χρόνων παραμονής. Σε μια τέτοια περίπτωση, κατάλληλα μοντέλα θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν, καθώς επίσης και οι αντίστοιχοι εκτιμητές των παραμέτρων θα πρέπει να προσδιοριστούν και να αναλυθούν. Στη συνέχεια, το πρόβλημα των πιθανοτήτων μετάβασης θα πρέπει να αντιμετωπιστεί παράλληλα με το πρόβλημα των αντίστοιχων ρυθμών μετάβασης. Στο πρώτο μέρος της διατριβής αυτής, διερευνούμε εκτίμηση παραμέτρων, ρυθμούς μετάβασης και πιθανότητες μετάβασης χρησιμοποιώντας διάφορες κατανομές για τους χρόνους παραμονής όπως είναι η Εκθετική, καθώς και άλλες κατανομές με πιο βαριές ουρές όπως η Weibull, η Pareto, κ.λ.π. Η μέθοδος εκτίμησης που χρησιμοποιείται σε αυτή την περίπτωση είναι η μέθοδος των ροπών. Οι κατανομές που έχουνθεωρηθεί ανήκουν σε μια γενική κλάση κατανομών. Εν συνεχεία, παρουσιάζεται μια εφαρμογή σε δεδομένα σεισμώ. Στο δεύτερο μέρος της διατριβής, εφαρμόζουμε τη μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας και παραθέτουμε τους αντίστοιχους εκτιμητές των δεικτών αξιοπιστίας ενός MSS, καθώς επίσης και η συνέπεια των εκτιμητών αυτών. Για το σκοπό αυτό εξετάζονται δύο περιπτώσεις: στην πρώτη περίπτωση θεωρούμε ένα μόνο δείγμα διαδρομής του συστήματος ενώ στη δεύτερη περίπτωση υπάρχουν διαθέσιμες πολλές διαδρομές. Σε κάθε περίπτωση λαμβάνουμε υπόψη δύο περιπτώσεις: αρχικά ότι όλοι οι χρόνοι παραμονής είναι διαθέσιμοι, και στη δεύτερη περίπτωση, ότι ο χρόνος παραμονής στην τελευταία κατάσταση είναι λογοκριμένος (για παράδειγμα έχει χαθεί από την παρακολούθηση).

In this work we focus on multi state systems that we model by means of continuous time Markov processes, which generalize typical Markov jump processes by allowing general distributions (not necessarily Exponential) for sojourn times or residing times or failure times. For this reason, the semi-Markov processes are more adapted to reliability studies (and for applications in general). The main quantity of interest in such settings is the transition probability of moving from state i to state j. Observe that in the above setting, the time t represents the residing time or sojourn time in state i before moving to state j. Although in the literature it is frequently assumed that this time is exponentially distributed, other more general distributions with heavier tails could be considered. Very frequently, in reliability, in economics, in physics and in engineering, the interest lies in the occurrence of rather exceptional or rare events (natural disasters, total power supply failures, global economic crises, etc) which are associated with the tail part of the distribution. All rare events and the rate at which they occur are related to the shape and the heaviness of the tail of the generating mechanism that produces such events. Since failures may be considered as rare events, distributions with heavier tails may be more appropriate for the description of sojourn times. In such cases, appropriate models should be used and the relevant parameter estimators should be determined and analyzed. Then, the problem of transition probabilities will be addressed together with that of the associated transition rates. In the first part of this thesis we investigate parameter estimation, transition rates (instantaneous transition probabilities) and transition probabilities using various distributions like Exponential as well as other, heavier tail distributions like Weibull, Pareto, etc for sojourn times. The estimating technique used in this part is the standard method of moments. Note that the distributions considered belong to a general class of distributions. An application of the proposed methodology is presented for illustrative purposes. The application deals with a data set of 113 great earthquakes from the South America region covering the period 1899-2010 with the purpose of making earthquake forecasts. In the second part of this thesis, we formulate the MLE methodology and provide the associated estimators for MSS reliability indices. The consistency of the estimators is also provided. Two statistical settings will be considered: in the first one we dispose of one sample path of the system; in the second one several sample paths are available. On each situation we take into account two different cases: in the first case, we observe all the sojourn times; in the second one, the sojourn time in the last visited state can be right censored (lost to follow-up, for instance).