Numerical and semi-analytical solutions of viscoplastic Poiseuille and Couette flows

Abstract

Η παρούσα διατριβή περιλαμβάνει τις αριθμητικές και ημι-αναλυτικές λύσεις ιξωδοπλαστικών ροών Poiseuille και Couette. Αρχικά επιλύουμε αριθμητικά διάφορες ροές διακοπής ρευστών Bingham χρησιμοποιώντας το ομαλοποιημένο μοντέλο του Παπαναστασίου, τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων στο χώρο και την έμμεση μέθοδο Euler για τη χρονική διακριτοποίηση. Τα αριθμητικά μας αποτελέσματα δείχνουν ότι, σε αντίθεση με τη Νευτώνεια ροή, οι αριθμητικοί χρόνοι διακοπής για μη μηδενική τάση διαρροής είναι πεπερασμένοι και λίγο πιο κάτω από τα θεωρητικά άνω φράγματα. Έπειτα ασχοληθήκαμε με την στάσιμη ροή Poiseuille σε δακτυλιοειδή αγωγό Νευτώνειου ρευστού με ολίσθηση στα τοιχώματα και προσπαθήσαμε να εξηγήσουμε την απουσία της αστάθειας μη ολίσθησης-ολίσθησης σε πειράματα εκβολής από αγωγό δακτυλιοειδούς διατομής. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί έδειξαν ότι για μικρές τιμές του λόγου των διαμέτρων είναι πιθανόν να υπάρχουν δύο ευσταθείς στάσιμες λύσεις σε μια περιοχή της ογκομετρικής παροχής της ροής. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα τη συρρίκνωση της ασταθούς περιοχής η οποία εξαλείφεται για μικρές τιμές του λόγου των διαμέτρων. Αυτό επεξηγεί την απουσία της αστάθειας μη ολίσθησης-ολίσθησης σε πειράματα εκβολής από αγωγό δακτυλιοειδούς διατομής. Τέλος ασχοληθήκαμε με την ποσοτική μελέτη των σφαλμάτων που εισάγονται με τις παραδοχές Νευτώνειου ή εκθετικού ρευστού κατά τον προσδιορισμό των υλικών παραμέτρων σε ρευστό Herschel Bulkley από πειράματα κυκλικής ροής Couette. Ο εσωτερικός κύλινδρος περιστρεφόταν με σταθερή ταχύτητα ενώ ο εξωτερικός ήταν ακίνητος. Βρήκαμε τις αναλυτικές λύσεις για ειδικές τιμές του εκθέτη ενώ στη γενική περίπτωση οι διέπουσες εξισώσεις ολοκληρώθηκαν αριθμητικά. Οι υπολογισμοί μας καταδεικνύουν ότι το σφάλμα στις εκτιμήσεις των υλικών παραμέτρων που είναι αμελητέο για τιμές του λόγου των διαμέτρων κοντά στη μονάδα, μπορεί να αυξηθεί δραματικά όταν ο λόγος αυτός μειώνεται. Αυτή η αύληση εξαρτάται και από τις υλικές παραμέτρους.

This thesis concerns the numerical and semi-analytical solutions of viscoplastic Poiseuille and Couette flows. First we solve numerically various cessation flows of Bingham plastic employing the regularized Papanastasiou model and using finite elements in space and Euler backward differences in time. Our calculations show that, in contrast to the Newtonian flow, when the yield stress is not zero, the calculated stopping times are finite and just below the theoretical upper bounds provided in the literature. Second we study the annular steady-state Poiseuille flow of a Newtonian fluid with slip and investigate why the so-called stick-slip instability is absent in annular extrusion experiments. Our calculations show that for small radii ratios two stable steady-state solutions are possible in a certain range of the volumetric flow rate. As a consequence, the stick-slip instability regime is reduced in size and eventually disappears as the diameter ratio κ is decreased which explain at some point the absence of the stick-slip instability in annular extrusion experiments. Finally we study the circular Couette flow of a Herschel Bulkley fluid and analyze the errors introduced by the standard Newtonian and power-law assumptions. This flow is solved assuming that the inner cylinder is rotating at constant speed while the outer one is fixed. Analytical solutions are presented for certain values of the power law exponent. The momentum equation is integrated numerically. It has been shown that the error in the measured viscosity, which is insignificant when the diameter ratio is close to unity may grow large depending on the diameter ratio and the material parameters.