Probability and moment inequalities for demimartingales and associated random variables

Abstract

Τα τελευταία χρόνια έχουν μελετηθεί εκτενώς οι διάφορες έννοιες εξάρτησης τυχαίων μεταβλητών. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι έννοιες της θετικής και αρνητικής συσχέτισης. Στη βιβλιογραφία γίνονται αναφορές και σε άλλες έννοιες εξάρτησης οι οποίες αποτελούν γενικεύσεις και επεκτάσεις των εννοιών της θετικής και αρνητικής συσχέτισης. Συγκεκριμένα οι Newman και Wright έχουν ορίσει τις έννοιες των demimartingales και demisubmartingales σε μια προσπάθεια γενίκευσης των martingales και submartingales. Η κλάση των N-demimartingales ορίστηκε με τρόπο ανάλογο των demimartingales και γενικεύει την έννοια των αρνητικά συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών και συμπεριλαμβάνει, όπως και οι demimartingales, ως ειδική περίπτωση την κλάση των martingales. Ο στόχος της παρούσας διατριβής είναι να παρουσιάσει μεγιστικές ανισότητες και ανισότητες ροπών για τις δυο αυτές κλάσεις τυχαίων μεταβλητών. Τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται σε αυτή την εργασία γενικεύουν ή και βελτιώνουν ήδη γνωστά αποτελέσματα που αφορούν τις martingales και τις συσχετισμένες τυχαίες μεταβλητές. Οι ανισότητες που προκύπτουν είναι τα βασικά εργαλεία για την απόδειξη ασυμπτωτικών αποτελεσμάτων. Επιπλέον τα ασυμπτωτικά αποτελέσματα που αφορούν τις demimartingales μπορούν να εφαρμοστούν στην περίπτωση των μερικών αθροισμάτων θετικά συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών ενώ τα ασυμπτωτικά αποτελέσματα που αφορούν τις N-demimartingales εφαρμόζονται στην παρούσα εργασία τόσο στην περίπτωση των μερικών αθροισμάτων όσο και στην περίπτωση άλλων στατιστικών συναρτήσεων που κατασκευάζονται με βάση τις αρνητικά συσχετισμένες τυχαίες μεταβλητές. Ως γενίκευση των demimartingales ορίζεται η αντίστοιχη κλάση με τους πολυδιάστατους δείκτες. Για αυτή την κλάση των τυχαίων μεταβλητών αποδεικνύεται μια μεγιστική ανισότητα από την οποία απορρέουν αποτελέσματα που αφορούν θετικά συσχετισμένες τυχαίες μεταβλητές με πολυδιάστατο δείκτη.

In recent years, concepts of dependence, including positive and negative association have been the focus of substantial research activity. Among the various results presented in the literature are extensions and generalizations. In particular, Newman and Wright (1982) introduced the concept of a demimartingale and a demisubmartingaleas a generalization of the notion of martingales and submartingales. The class of N-demimartingales introduced later, generalizes in a natural way the concept of negative association and includes as special case the class of martingales equipped with the natural choice of σ-algebras. The aim of this work is to provide maximal and moment inequalities for the classes of demimartingales and N-demimartingales. The results presented in this thesis in many cases improve and generalize known results for martingales, and for positively and negatively associated random variables. The inequalities provided for these two new classes of random variables are instrumental in obtaining asymptotic results. The asymptotic results derived for demimartingales can also be applied to the case of partial sums of positively associated random variables while the asymptotic results concerning N-demimartingales can be applied to partial sums of negatively associated random variables and other statistical functions involving negatively associated random variables. As a natural generalization of demimartingales and demisubmartingales we introduce multidimensionally indexed demi(sub)martingales. For this new class of random variables we prove a maximal inequality which becomes the source result for obtaining several inequalities for multidimensionally indexed associated random variables.