Dynamical extensions of band theory : non-Hermitian contributions and topological stabilization

Abstract

Υποκινούμενοι από την αυξανόμενη σημαντικότητα των επιφανειακών (ή γενικότερα συνοριακών) φαινομένων σε τοπολογικές καταστάσεις της Συμπυκνωμένης Ύλης, και σε συνδυασμό με την εμπλοκή γεωμετρικών και τοπολογικών εννοιών στην Κβαντομηχανική, η παρούσα διατριβή αφιερώνεται στην αναδιατύπωση και επέκταση ορισμένων θεμελιωδών εννοιών, οι οποίες με τη σειρά τους επιφέρουν σημαντικές μετρήσιμες συνέπειες. Έχουμε αναθεωρήσει τη λεγόμενη Μοντέρνα Θεωρία της Τροχιακής Μαγνήτισης, ορίζοντας καινούργιες ποσότητες, οι οποίες οφείλονται σε ένα μη-Ερμιτιανό φαινόμενο, το οποίο αποδίδεται σε ανώμαλους τελεστές που σπάνε το πεδίο ορισμού της Ερμιτιανής Χαμιλτονιανής. Ως αποτέλεσμα, συνεισφορές από τα άκρα οι οποίες έχουν αγνοηθεί στο παρελθόν, λαμβάνονται αυστηρά και αναλυτικά υπόψη. Αυτές αναμένεται να δίνουν πολύ μεγάλες συνεισφορές στην τροχιακή μαγνήτιση, όποτε υπάρχουν διασταυρώσεις ενεργειακών ζωνών μαζί με τάση Hall λόγω ανισορροπίας στη συσσώρευση των ηλεκτρονίων στα απέναντι άκρα του υλικού. Παρόμοια επιχειρήματα με μη-Ερμιτιανές συνεισφορές έχουμε εφαρμόσει και στη φυσική του σπιν. Δείχνουμε πως μπορεί κανείς να ορίσει μια κβαντική εξίσωση κίνησης για το σπιν, χωρίς να είναι απαραίτητη η ύπαρξη τοπικού νόμου διατήρησης, σε αντίθεση με την καθιερωμένη πρακτική. Σε αυτό το πλαίσιο, έχουμε ορίσει το ενδογενές ρεύμα του σπιν ως τη χρονική παράγωγο της συσχέτισης μεταξύ της θέσης και του σπιν του ηλεκτονίου. Το ενδογενές ρεύμα του σπιν είναι απαλλαγμένο από οποιεσδήποτε επιπλοκές, λαμβάνει ρητά υπόψη τις συμβολές από τα άκρα, και για συστήματα στα οποία δεν ασκούνται τοπικές ροπές στρέψης δίνει μηδενική τιμή. Επιπλέον, έχουμε κάνει μια επέκταση του γνωστού θεωρήματος Hellmann-Feynman, σε μια διευρυμένη μορφή η οποία μπορεί να εφαρμοστεί σε χρονικά εξαρτώμενες καταστάσεις και χρονικά εξαρτώμενες παραμέτρους. Ο προκύπτων τύπος της επέκτασης έχει βρεθεί ότι δίνει τις αναμενόμενες τιμές των φυσικών μεγεθών σαν συνάρτηση γενικευμένων καμπυλοτήτων του Berry και συνεισφορών από τα άκρα του συστήματος λόγω και πάλι ενός αναδυόμενου μη-Ερμιτιανού φαινομένου. Με εφαρμογή της επέκτασης έχουμε βρει τις κβαντικές εξισώσεις κίνησης του ηλεκτρονίου οι οποίες επεκτείνουν τις αντίστοιχες ημικλασικές. Η εφαρμογή του θεωρήματος στη μελέτη της μεταφοράς σωματιδίων σε μη-αδιαβατικό όριο, δείχνει ότι η κβάντωση καταρρέει εξαιτίας μιας μη τετριμμένης Aharonov-Anandan φάσης. Ομοίως, η εφαρμογή του θεωρήματος στη μελέτη της πόλωσης των ηλεκτρονίων, αναδεικνύει την ύπαρξη μιας επιφανειακής μη-Ερμιτιανής συνεισφοράς η οποία δεν έχει ληφθεί υπόψη μέχρι στιγμής στη λεγόμενη Μοντέρνα Θεωρία της Πόλωσης. Χρησιμοποιώντας μια ορθοκανονική βάση αναλύσαμε περαιτέρω την επέκταση του θεωρήματος Hellmann-Feynman. Έχουμε βρει ένα τύπο για τις αναμενόμενες τιμές των φυσικών μεγεθών που εξαρτάται τόσο από τη δυναμική εξέλιξη μέσω των συντελεστών του αναπτύγματος, όσο και από την τοπολογία του στιγμιαία κατειλημμένου χώρου Hilbert. Είναι ενδιαφέρον το γεγονός ότι τα μετρήσιμα μεγέθη αποκτούν εξάρτηση από μη-Αβελιανές καμπυλότητες Berry όποτε η κβαντική κατάσταση καταλαμβάνει περισσότερες από μια διαστάσεις του χώρου Hilbert. Η μορφή των μη-Αβελιανών καμπυλοτήτων μοιάζει με τους τανυστές του πεδίου Yang-Mills. Στο πλήρως δυναμικό όριο, όταν όλοι οι συντελεστές του αναπτύγματος εξελίσσονται πλήρως συζευγμένοι μεταξύ τους, αυτές οι μη-Αβελιανές καμπυλότητες του Berry δίνουν μηδέν. Με την εφαρμογή αυτής της επέκτασης, μπορούμε να δικαιολογήσουμε τα θεωρητικά αποτελέσματα που έχουν προκύψει τα τελευταία χρόνια στις μελέτες μεταφοράς σε δυναμικά συστήματα τα οποία είναι εκτός ισορροπίας (π.χ. συστήματα Floquet), όπου έχει βρεθεί ότι η αγωγιμότητα, καθώς και η μεταφορά σωματιδίων, δίδονται ως ολοκληρώματα των καμπυλοτήτων Berry σταθμισμένα από τις πιθανότητες των καταλήψεων. Αυτή η διατριβή δίνει μια καινούργια προοπτική για ουσιαστική εμπλοκή των μη- Ερμτιανών φαινομένων, της τοπολογίας και της δυναμικής εξέλιξης, μέσα σε ένα εννοιολογικό πλαίσιο που είναι κατάλληλο για θεωρητικές μελέτες στη Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης, και ως τέτοια, ευχόμαστε να συμβάλλει στο να ακολουθηθούν αυτές οι μέθοδοι και από άλλα μέλη της κοινότητας στο μέλλον.

Motivated by the increased importance of boundary effects in topological states of Condensed Matter, combined with the involvement of geometric and topological concepts within a quantum mechanical framework, this dissertation is dedicated to the reformulation and extension of some fundamental concepts, which in turn lead to important measurable consequences. We have reconsidered the so called Modern Theory of Orbital Magnetization by defining additional quantities that incorporate a non-Hermitian effect due to anomalous operators that break the domain of definition of the Hermitian Hamiltonian. As a result, overlooked boundary contributions to the observable are rigorously and analytically taken into account. These are expected to give giant contributions to orbital magnetization whenever band crossings occur along with Hall voltage due to imbalance of electron accumulation at opposite boundaries of the material. We have also applied similar arguments with non-Hermitian contributions to spin physics. We show how one can set up a global quantum equation of motion for the spin transport processes without any local conservation law being necessary, in contrast to the established practice. In this framework, we have defined the intrinsic spin current operator as the time derivative of the correlation between electron’s position and electron’s spin. This intrinsic spin current is free from any complications, it explicitly takes into account boundary contributions, and for systems that lack local spin-torques turns zero value. In addition, we have made a dynamical extension of the standard Hellmann-Feynman theorem to one that can be applied to time-dependent states with time-dependent parameters. The resulting formula for the dynamics of the observables is found to have profound connections to generalized Berry curvatures as well as to boundary contributions due to an emerging non-Hermitian effect. By way of application we have derived the quantum equations of motion of the electron which extends the standard semiclassical counterpart. Application of the theorem to the study of particle transport in the non-adiabatic limit, shows that the quantization breaks down due to a non-trivial Aharonov-Anandan phase. Similarly, application of the theorem to the study of the electric polarization indicates that there is a boundary non-Hermitian contribution that has been so far overlooked in the so called Modern Theory of Polarization. By using an orthonormal basis we have analyzed further the dynamical extension of the Hellmann-Feynman theorem. We have found a formula for the observables that depends on the dynamics through the expansion coefficients together with the topology of the instantaneous occupied Hilbert space. Interestingly, the observables acquire dependence on non-Abelian Berry curvatures when the quantum state occupies more than one dimensions in Hilbert space. The form of these non-Abelian Berry curvatures resembles the Yang-Mills field strength tensors. In the fully dynamical limit, when all expansion coefficients evolve in time coupled to each other, these non-Abelian Berry curvatures turn to zero. By way of application of this extension we can justify the theoretical results that have come out in the last few years in non-equilibrium transport studies (i.e. of Floquet systems), where they find that the conductivity as well as the particle transport, are given as integrals of Berry curvatures weighted by the occupation numbers. Our dissertation gives a new perspective for an essential engagement of boundary non- Hermitian effects, topology and dynamics, in a single theoretical framework that is appropriate for theoretical studies of Condensed Matter Physics, and as such we hope that it will contribute in making these methods followed up by other members of the community in the future.