Probability inequalities and related asymptotic results for U-statistics based on associated and negatively associated random variables

Abstract

Η θεωρεία των στατιστικών συναρτήσεων U έχει εισαχθεί από τον W. Hoeffding. Πολλοί ερευνητές μελέτησαν και συνεχίζουν να μελετούν την ασυμπτωτική συμπεριφορά τους όταν αυτές κατασκεύαζονται με ανεξάρτητες και ισόνομες παρατηρήσεις. Στην πιο πρόσφατη βιβλιογραφία όμως παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον η μελέτη αυτών των στατιστικών συναρτήσεων όταν αυτές κατασκεύαζονται με εξαρτημένες παρατηρήσεις. Ένα είδος εξάρτησης είναι η θετική και αρνητική σύνδεση (association). Ο στόχος της παρούσας διατριβής επικεντρώνεται κυρίως στην ασυμπτωματική συμπεριφορά των στατιστικών συναρτήσεων U που κατασκεύαζονται με θετικά ή αρνητικά συνδεδεμένες τυχαίες μεταβλητές. Για τον σκοπό αύτο αποδεικνύονται άνω φράγματα ροπών και χρήσιμες εκθετικές, μεγιστικές ανισότητες που αποτελούν βασικά εργαλεία για την απόδειξη ασυμπτωματικών αποτεμεσμάτων. Εισάγουμε την έννοια των reverse demimartingales και reverse demisubmartingales που είναι γενίκευση των reverse martingales και reverse submartingales αντίστοιχα, και αποδεικνύουμε μεγιστικές ανισότητες τύπου Chow και Doob. Η στενή σύνδεση μεταξύ martingales, demimartingales, N-demimartingales και των στατιστικών συναρτήσεων U αποτελούν επίσης μέρος της μελέτης μας. Τα ασυμπτωτικά αποτελέσματα που ισχύουν για demimartingales και N-demimartingales μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη νόμων των μεγάλων αριθμών για στατιστικές συναρτήσεις U που βασίζονται σε εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές με πολυδιάστατους δείκτες καθώς και για στατιστικές συναρτήσεις που βασίζονται σε πολλαπλά δείγματα. Χρησιμοποιούμε επίσης ανισότητες και άλλα αποτελέσματα που ισχύουν για ανεξάρτητες και ισόνομες παρατηρήσεις για να βρούμε την απόσταση μεταξύ των στατιστικών συναρτήσεων U που βασίζονται σε ανεξάρτητες και ισόνομες παρατηρήσεις και μιας τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή. Προφανώς τα αποτελέσματα που ισχύουν για ανεξάρτητες και ισόνομες παρατηρήσεις δεν ισχύουν και στη περίπτωση των εξαρτημένων παρατηρήσεων. Τα αποτελέσματα αυτά τροποποιούνται ή αντικαθίστανται εντελώς για να μελετηθεί η απόσταση μεταξύ των στατιστικών συναρτήσεων U με ανεξάρτητες και ισόνομες παρατηρήσεις και των στατιστικών συναρτήσεων U με εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές που έχουν την ίδια κατανομή. Παρουσιάζεται επίσης η ασυμπτωτική κανονικότητα των στατιστικών συναρτήσεων U που κατασκεύαζονται από θετικά ή αρνητικά συνδεδεμένες τυχαίες μεταβλητές, όπως και η απόσταση μεταξύ των στατιστικών συναρτήσεων U που κατασκεύαζονται απο μια συλλογή ισόνομων και αρνητικά συνδεδεμένων τυχαίων μεταβλητών από μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή χρησιμοποιώντας τη μετρική του Zolotarev. Τα αποτελέσματα αυτά αποτελούν κεντρικά οριακά θεωρήματα τα οποία μελετώντας με μια εναλλακτική τεχνική και συγκεκριμένα με τη βοήθεια μετρικών αποστάσεων. Παράλληλα παρουσιάζονται αντίστοιχα αποτελέσματα για μια άλλη συγγενική κατηγορία στατιστικών συναρτήσεων, τις στατιστικές συναρτήσεις V, (V-statistics). Tέλος εφαρμόζεται η τεχνική επαναδειγματοληψίας Jackknife σε στατιστικές συναρτήσεις U που βασίζονται σε θετικά ή αρνητικά συνδεδεμένες τυχαίες μεταβλητές με σκοπό την εκτίμηση του τυπικού σφάλματος και της μεροληψίας τηε εκτημήτριας της διασποράς των συναρτήσεων αυτών.

The basic theory of U-statistics was developed by W. Hoeffding. U-statistics were originally defined on i.i.d. observations and many authors study their asymptotic behavior. However, many authors have also studied U-statistics based on dependent observations since the theoretical results which are valid for U-statistics based on i.i.d. random variables cannot automatically be applied to the case of U-statistics based on dependent random variables. One type of dependence is association (negative or positive). Our study is mainly focused on the asymptotic behavior of U-statistics based on associated and negatively associated random variables. Although some results have been established, the conditions imposed are restrictive and in some cases unrealistic. Our aim is to study the asymptotic behaviour under conditions which are applicable and verifiable. Among our objectives in this thesis, is to prove moment and exponential inequalities for this type of U-statistics. We introduce the concept of a reverse demimartingale and a reverse demisubmartingale as a generalization of the notion of reverse (backward) martingales and reverse submartingales, and we establish Chow and Doob type maximal inequalities. The close connection between martingales, demimartingales, N-demimartingales and U-statistics is fully exploited. The asymptotic results derived from demimartingales and N-demimartingales can be applied to U-statistics, to obtain strong laws for U-statistics based on multidimensionally indexed associated random variables and multisample U-statistics on collections of associated random variables that are introduced for the first time, as a natural generalization of one sample U-statistics. We also use tools such as inequalities and results valid for U-statistics on i.i.d. observations, to find the distance between U-statistics on i.i.d. observations and a normal random variable. It is obvious that results proved for the classical setup (i.e. for i.i.d. observations) which are not applicable for the case of associated observations are modified or replaced altogether by results on associated random variables. The distance between U-statistics on i.i.d. observations and U-statistics on identically distributed associated random variables having the same distribution is also investigated and exploited. Asymptotic normality for U-statistics based on associated random variables is also presented. We also investigate the distance between a U-statistic based on a collection of identically distributed negatively associated random variables and a normal random variable using the Zolotarev's ideal metric. Those results also provide a central limit theorem for U-statistics with an alternative technique using probability metrics. Finally, it is natural that we also investigate another related class of statistics, the von Mises statistics or V-statistics. Corresponding results are also proved for this type of statistics. Finally, jackknifing U-statistics based on associated and negatively associated random variables is also part of our study.