Supersymmetric QCD on a Spacetime Lattice

Abstract

Σε αυτή τη διατριβή, περιγράφουμε πολλά κίνητρα για να εμβαθύνουμε στη μελέτη υπερσυμμετρικών θεωριών χρησιμοποιώντας τεχνικές πλέγματος. Ωστόσο, διάφορα εμπόδια προκύπτουν από την παραβίαση της Υπερσυμμετρίας στο πλέγμα, όπως η απαίτηση λεπτομερής βαθμονόμησης στην απογυμνωμένη Λαγκρανζιανή της θεωρίας. Η προσέγγισή μας για την αντιμετώπιση αυτών των ζητημάτων περιλαμβάνει την πλήρη αποκατάσταση όλων των συμμετρίων της δράσης, οι οποίες παραβιάζονται στο πλέγμα, καθώς πλησιάζουμε στο όριο του συνεχούς. Για την πρώτη μελέτη, διερευνούμε τη λεπτομερή βαθμονόμηση της σταθεράς σύζευξης Yukawa (αλληλεπιδράσεις gluino-quark-squark) και της σταθεράς σύζευξης quartic (αλληλεπιδράσεις τεσσάρων squark) στην N=1 υπερσυμμετρική θεωρία QCD, διακριτοποιημένη στον Ευκλείδειο χωρόχρονο. Χρησιμοποιούμε τη θεωρία διαταραχών σε επίπεδο ενός βρόχου και στη χαμηλότερη τάξη της πλεγματικής σταθεράς. Χρησιμοποιείται, επίσης, το Modified Minimal Subtraction Scheme (\bar{MS}), το οποίο εξ ορισμού, απαιτεί διαταρακτικούς υπολογισμούς, στο συνεχές και/ή στο πλέγμα. Στο πλέγμα, χρησιμοποιούμε τη διακριτοποίηση Wilson για πεδία γλουονίου, κουάρκ και γλουίνο. Για πεδία squark χρησιμοποιούμε naive διακριτοποίηση. Όλες οι συναρτήσεις Green και οι παράγοντες επανακανονικοποίησης είναι αναλυτικές εκφράσεις ανάλογες απροσδιόριστων παραμέτρων: του αριθμού των χρωμάτων, Nc, του αριθμού των γεύσεων, Nf και της παραμέτρου βαθμίδος a. Η γνώση αυτών των παραγόντων επανακανονικοποίησης είναι απαραίτητη προκειμένου να συσχετιστούν αριθμητικά αποτελέσματα, που προέρχονται από μη διαταρακτικές μελέτες, με τις επανακανονικοποιημένες, «φυσικές» συναρτήσεις Green της θεωρίας. Οι δυσκολίες αυτής της μελέτης έγκεινται στο γεγονός ότι διαφορετικά συστατικά των πεδίων squark αναμειγνύονται μεταξύ τους σε κβαντικό επίπεδο και οι συμμετρίες της δράσης, όπως η ομοτιμία και η σύζευξη των συμμετριών φορτίου, επιτρέπουν μια πρόσθετη σταθερά σύζευξης Yukawa. Συνεπώς, για την κατάλληλη προσαρμογή των όρων Yukawa, αυτές οι μείξεις πρέπει να λαμβάνονται υπόψη στις συνθήκες επανακανονικοποίησης. Σημειώστε ότι ενώ παρέχουμε τα αποτελέσματα των παραγόντων επανακανονικοποίησης για τις σταθερές σύζευξης Yukawa τόσο σε διαστατική οσο και σε πλεγματική ομαλοποίηση, παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα των παραγόντων επανακανονικοποίησης για τις σταθερές σύζευξης quartic μόνο σε διαστατική ομαλοποίηση. Οι υπολογισμοί που αφορούν την επανακανονικοποίηση των σταθερών σύζευξης quartic στο πλέγμα βρίσκονται σε εξέλιξη. Για τη δεύτερη μελέτη, εκτελούμε υπολογισμούς για να μελετήσουμε την επανακανονικοποίηση των τελεστών τεσσάρων κουάρκ στο πλαίσιο της QCD. Χρησιμοποιούμε δύο σχήματα επανακανονικοποίησης: το Gauge Invariant Renormalization Scheme (GIRS), το οποίο έχει κάποια πελονεκτήματα σε σύγκριση με άλλα σχήματα, ειδικά σε μη διαταρακτικές έρευνες στο πλέγμα, και το Modified Minimal Subtraction Scheme (\bar{MS}). Από τους διαταρακτικούς υπολογισμούς μας εξάγουμε τα πινακοστοιχεία των πινάκων μετατροπής μεταξύ αυτών των δύο σχημάτων επανακανονικοποίησης. Μία δυσκολία στη μελέτη των τελεστών τεσσάρων κουάρκ είναι το γεγονός ότι τελεστές με διαφορετικούς πίνακες Dirac αναμειγνύονται μεταξύ τους κατά την επανακανονικοποίηση. Επιπλέον, οι υπολογισμοί στο GIRS, σε μια δεδομένη τάξη στη θεωρία διαταραχών, περιλαμβάνουν διαγράμματα με περισσότερο από ένα βρόχο. Σημειώνουμε ότι εστιάζουμε τόσο σε τελεστές τεσσάρων κουάρκ με ΔF=2 που διατηρούν την ομοτιμία όσο και σε τελεστές που την παραβιάζουν. Η εξαγωγή των πινακοστοιχείων των πινάκων μετατροπής απαιτεί τον υπολογισμό των συναρτήσεων Green δύο σημείων, οι οποίες περιλαμβάνουν δύο τελεστές τεσσάρων κουάρκ ή ένα τελεστή τεσσάρων κουάρκ και ένα τελεστή με δύο καυάρκ, καθώς και των συναρτήσεων Green τριών σημείων που περιλαμβάνουν ένα τελεστή τεσσάρων κουάρκ και δύο τελεστές με δύο κουάρκ. Όλοι οι τελεστές στις συναρτήσεις Green βρίσκονται σε διακριτά χωροχρονικά σημεία. Επιπλέον, επικεντρωνόμαστε τόσο σε τελεστές τεσσάρων κουάρκ που διατηρούν την ομοτιμία όσο και σε τελεστές που την παραβιάζουν. Η σημασία των αποτελεσμάτων μας έγκειται στη δυνατότητά τους να βελτιώσουν την κατανόησή μας για τα φαινόμενα της QCD, προσφέροντας πολύτιμες γνώσεις για τα πινακοστοιχεία του πίνακα Cabibbo–Kobayashi–Maskawa (CKM) και ρίχνοντας φως στη μη διαταρακτική επανακανονικοποίηση και μίξη των τελεστών τεσσάρων κουάρκ.

In this thesis, we outline numerous motivations to delve into the study of supersymmetric theories using lattice techniques. Nevertheless, various well-known obstacles emerge from the breaking of supersymmetry in a lattice-regulated theory, such as the requirement for fine-tuning of the theory's bare Lagrangian. Our approach to address these issues involves mandating that all symmetries of the action, which are broken on the lattice, must be fully restored as the continuum limit is approached. We also propose some ways to reduce the amount of the parameters that need fine-tuning in order to render the numerical lattice calculations easier. For the first project, we investigate the fine-tuning of the Yukawa (gluino-quark-squark interactions) and quartic (four-squark interactions) couplings of N=1 supersymmetric QCD, discretized on a Euclidean lattice. We use perturbation theory at one-loop level and to the lowest order in the lattice spacing. The Modified Minimal Subtraction Scheme (\bar{MS}) is employed; by its definition, this scheme requires perturbative calculations, in the continuum and/or on the lattice. On the lattice, we utilize the Wilson formulation for gluon, quark and gluino fields; for squark fields we use na\"ive discretization. All Green's functions and renormalization factors are analytic expressions depending on the number of colors, Nc, the number of flavors, Nf, and the gauge parameter, α, which are left unspecified. Knowledge of these renormalization factors is necessary in order to relate numerical results, coming from nonperturbative studies, to the renormalized, ``physical" Green's functions of the theory. The sheer difficulties of this study lie in the fact that different components of squark fields mix among themselves at the quantum level and the action's symmetries, such as parity and charge conjugation, allow an additional Yukawa coupling. Consequently, for an appropriate fine-tuning of the Yukawa terms, these mixings must be taken into account in the renormalization conditions. Note that while we provide the results of the renormalization factors for the Yukawa couplings in both dimensional and lattice regularization, we present the outcomes of the renormalization factors for the quartic couplings only in dimensional regularization. The computations regarding the renormalization of the quartic couplings on the lattice are underway. For the second project, we perform calculations to determine the renormalization of the four-quark operators in the framework of QCD. We employ a Gauge Invariant Renormalization Scheme (GIRS), which can be advantageous compared to other schemes, especially in nonperturbative lattice investigations, and the Modified Minimal Subtraction Scheme (\bar{MS}). From our perturbative computations we extract the elements of the conversion matrices between these two renormalization schemes at the next leading order. A formidable issue in the study of the four-quark operators is the fact that operators with different Dirac matrices mix among themselves upon renormalization. Furthermore, computations in GIRS, at a given order in perturbation theory, involve diagrams with more than one loop. Note that we focus on both Parity Conserving and Parity Violating four-quark operators with ΔF=2. The extraction of the elements of the conversion matrices entails the calculation of two-point Green's functions, which involve products of two four-quark operators or one four-quark operator and one bilinear operator, as well as three-point Green's functions which involve one four-quark and two bilinear operators; all operators are situated at distinct spacetime points. Moreover, we concentrate on both Parity Conserving and Parity Violating four-quark operators. The significance of our results lies in their potential to refine our understanding of QCD phenomena, offering valuable insights into the precision of Cabibbo–Kobayashi–Maskawa (CKM) matrix elements and shedding light on the nonperturbative treatment of complex mixing patterns associated with four-quark operators.