Conceptual and representational understanding related to the concept of function: a comparative study between Cyprus and Italy

Abstract

Η έννοια της συνάρτησης είναι πολύ σημαντική στα μαθηματικά και τις εφαρμογές τους (Eisenberg, 1992). Η κατανόηση της έννοιας αυτής είναι ένα θέμα που συγκεντρώνει την προσοχή των εκπαιδευτικών αλλά και της μαθηματικής εκπαιδευτικής κοινότητας γενικότερα (Dubinsky & Harel, 1992; Sierpinska, 1992). Οι συναρτήσεις κατέχουν μια ιδιαίτερα σημαντική θέση στο αναλυτικό πρόγραμμα των μαθηματικών, σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης. Αποτελούν μια σημαντική και θεμελιώδη έννοια για τη μελέτη των μαθηματικών, από το νηπιαγωγείο μέχρι και τη μέση εκπαίδευση (Dubinsky & Harel, 1992). Παρόλο αυτά η κατανόηση των συναρτήσεων είναι αρκετά δύσκολη. Μαθητές δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης αλλά και φοιτητές, σε κάθε χώρα, έχουν δυσκολίες στην εννοιολογική κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης (Elia & Spyrou, 2006; Hitt, 1998; Markovits, Eylon, & Bruckheimer, 1986). Ένας μεγάλος αριθμός ερευνών χρησιμοποίησε διαφορετικές προσεγγίσεις για να διερευνήσει την κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών. Στη παρούσα μελέτη επιχειρείται η σύνθεση των ιδεών που υπάρχουν στη βιβλιογραφία, με στόχο τη διερεύνηση της κατανόησης της έννοιας της συνάρτησης από φοιτητές. Συγκεκριμένα, ο γενικός στόχος της παρούσας έρευνας είναι να διερευνήσει τη συμπεριφορά, τις γνωστικές δομές και την επίδοση Κύπριων και Ιταλών φοιτητών σε διαφορετικές πτυχές της έννοιας της συνάρτησης. Συγκεκριμένα, διερευνήθηκε η προσέγγιση (αλγεβρική ή ολιστική) που ακολουθούν οι φοιτητές όταν λύνουν έργα συναρτήσεων, ο ορισμός και τα παραδείγματα που δίνουν για την έννοια, η αναγνώριση της έννοιας όταν δίνεται σε διαφορετικές αναπαραστάσεις, η μετάφραση από τη μια αναπαράσταση στην άλλη και η επιτυχία στην επίλυση προβλήματος. Επιπλέον, τα αποτελέσματα που προέκυψαν επιβεβαιώθηκαν από ποσοτικά και ποιοτικά δεδομένα που πάρθηκαν από δύο χώρες (Κύπρο και Ιταλία). Η παρούσα έρευνα διεξήχθη σε τρεις ερευνητικές φάσεις. Στην πρώτη ερευνητική φάση έλαβαν μέρος τέσσερεις ομάδες φοιτητών. Συγκεκριμένα, η πρώτη ομάδα αποτελείτο από 135 Κύπριους φοιτητές και τα δεδομένα συλλέχτηκαν το 2005, η δεύτερη ομάδα αποτελείτο από 153 Κύπριους φοιτητές και τα δεδομένα συλλέχτηκαν το 2007, η τρίτη ομάδα αποτελείτο από 260 Κύπριους φοιτητές και τα δεδομένα συλλέχτηκαν το 2008 και η τέταρτη ομάδα αποτελείτο από 200 Ιταλούς φοιτητές και τα δεδομένα συλλέχτηκαν το 2009. Ένα δοκίμιο που αποτελείτο από εφτά έργα δόθηκε στους φοιτητές. Οι συμμετέχοντες της δεύτερης ερευνητικής φάσης ήταν 279 Κύπριοι και 206 Ιταλοί φοιτητές. Στη φάση αυτή δόθηκαν δύο δοκίμια τα οποία αποτελούνταν από εννιά και δεκατέσσερα έργα αντίστοιχα. Στην τρίτη ερευνητική φάση πήραν μέρος εννιά άτομα που επιλέγηκαν από τη δεύτερη φάση για να συμμετάσχουν σε συνεντεύξεις οι οποίες αποτελούνταν από εννιά έργα. Από την ανάλυση των δεδομένων προέκυψαν σημαντικά αποτελέσματα. Συγκεκριμένα προέκυψε ένα δομικό μοντέλο που επιβεβαιώνει και υπογραμμίζει το σημαντικό ρόλο που διαδραματίζει η ευελιξία χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων και η ικανότητα επίλυσης προβλήματος στην εννοιολογική κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης. Επιπλέον διερευνήθηκαν οι διαστάσεις της ευελιξίας χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων και της επίλυσης προβλήματος. Συγκεκριμένα, η ευελιξία χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων είναι μια πολυδιάστατη έννοια που περιλαμβάνει την εικόνα της έννοιας η οποία περαιτέρω προκύπτει από τον ορισμό και τα παραδείγματα που δίνονται για τη συγκεκριμένη έννοια, την αναγνώριση της έννοιας όταν δίνεται σε ποικιλία αναπαραστάσεων (γραφικές παραστάσεις, διαγράμματα, συμβολικές και λεκτικές εκφράσεις) και τις μεταφράσεις από αλγεβρική σε γραφική αναπαράσταση και το αντίθετο. Επιπλέον, από το μοντέλο προέκυψε ο σημαντικός ρόλος που διαδραματίζει η ολιστική προσέγγιση και η επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων στη γενική ικανότητα επίλυσης προβλήματος. Παρά τις διαφορές που υπήρχαν στην επίδοση των Κύπριων και Ιταλών φοιτητών η δομή αυτή ήταν η ίδια και για τις δύο ομάδες. Σχετικά με τις προσεγγίσεις που χρησιμοποιούν οι φοιτητές για να επιλύσουν απλά έργα συναρτήσεων επιβεβαιώθηκε η σταθερότητα τους. Επιπλέον οι Κύπριοι και Ιταλοί φοιτητές χωρίστηκαν σε τρεις ομάδες ανάλογα με την προσέγγιση που χρησιμοποίησαν. Η σχέση της ολιστικής προσέγγισης με τις άλλες διαστάσεις της κατανόησης της συνάρτησης διερευνήθηκε. Συγκεκριμένα τα αποτελέσματα έδειξαν ότι η ομάδα των φοιτητών που χρησιμοποίησαν ολιστική προσέγγιση είχαν καλύτερα αποτελέσματα σε όλες τις διαστάσεις της κατανόησης της έννοιας. Διερευνήθηκε περαιτέρω, η συμπεριφορά και η επίδοση των Κύπριων και Ιταλών φοιτητών σε όλες τις διαστάσεις της εννοιολογικής κατανόησης της συνάρτησης έτσι όπως αυτές προέκυψαν από το δομικό μοντέλο. Χαμηλότερη επίδοση είχαν στα έργα επίλυσης προβλήματος. Επιπλέον παρατηρήθηκε το φαινόμενο της στεγανοποίησης τόσο για τους Κύπριους όσο και για τους Ιταλούς φοιτητές. Επιπρόσθετα διαφάνηκαν οι διάφορες παρανοήσεις και οι ιδέες που έχουν οι φοιτητές για την έννοια της συνάρτησης .

The concept of function is of fundamental importance in the learning of mathematics (Eisenberg, 1992). The understanding of the concept of function have been a main concern of mathematics educators and of mathematics education research community (Dubinsky & Harel, 1992; Sierpinska, 1992). Functions have a key place in the mathematics curriculum, at all levels of schooling. Being fundamental for the study of mathematics, the function concept has been identified as the single most important notion from kindergarten to graduate school (Dubinsky & Harel, 1992). Nevertheless, students of secondary or even tertiary education, in any country, seem to encounter difficulties in conceptualizing the notion of function (Elia & Spyrou, 2006; Hitt, 1998; Markovits, Eylon, & Bruckheimer, 1986). A vast number of studies have used different approaches to explore the understanding of the concept of function in mathematics teaching and learning. This study attempted to synthesize the aforementioned ideas of the literature in a model, so as to investigate pre-service teachers’ understanding of function in a more comprehensive manner. Specifically, the general aim of this research study was to explore Cypriot and Italian pre-service teachers’ display of behavior, cognitive structures and performance in different aspects of the understanding of function. In particular, pre-service teachers’ algebraic or coordinated approaches used when solving simple function tasks, definition of function, examples of function, recognizing functions given in different forms, transferring functions from one mode of representation to another and effectiveness in solving complex problems were explored. Furthermore, the results emerged were validated by quantitative and qualitative data taken from two different countries (Cyprus and Italy). The research study was conducted in three phases. In the first phase four groups of pre-service teachers participated. Particularly, the data of the first group (Group A) were collected in 2005 and the participants were 135 Cypriot pre-service teachers. The data of the second group (Group B) were collected two years later, in 2007 and the participants were 153 Cypriot pre-service teachers. The data of the third group (Group C) were collected in 2008 and the participants were 260 Cypriot pre-service teachers. Finally, the data of the fourth group (Group D) were collected in 2009 and the participants were 200 Italian pre-service teachers. A test consisted of seven tasks was given to the participants. The participants of the second phase were 279 Cypriot and 206 Italian pre-service teachers. There were given two tests consisted of nine and fourteen tasks, respectively. In the third phase nine of the second phase’s participants were chosen for task-based interviews, which were consisted of nine tasks. From the data analysis important finding were emerged. Particularly, a structural model was constructed and verified in order to determine and document the importance of multiple representational flexibility and problem solving ability in the conceptual understanding of function. The various dimensions of the multiple representational flexibility and problem solving ability were furthermore examined. Particularly, it was emerged that multiple representational flexibility is a multidimensional concept that involves the concept image which consists of the definition and examples of the concept, the recognition of the concept given in various representations (graphical and diagrammatic representation, symbolic and verbal expression) and the conversions from an algebraic to a graphical representation and vice versa. Furthermore, the model highlighted the important role of the coordinated approach and complex problem solving tasks in the conceptual understanding of function and their relation with the problem solving ability. Despite the differences exist in the performance of the Cypriot and Italian pre-service teachers this structure remained invariant for both groups. As far as the approaches pre-service teachers use in order to solve simple function tasks their stability was verified. Furthermore, Cypriot and Italian pre-service teachers were divided into three groups according to the approach they follow and use. The relation of the coordinated approach with the other dimensions of the understanding of function (concept image, recognition, conversions, problem solving) was examined. The coordinated approach group outperformed the other groups in all the dimensions of the understanding of the concept. Cypriot and Italian pre-service teachers’ behavior and performance were investigated in the various dimensions of the conceptual understanding of function as it was emerged from the structural model. The lowest level of success was observed in problem solving on functions. Furthermore, the compartmentalization that exists in the thinking processes of Cypriot and Italian pre-service teachers was evident. In addition, several misunderstandings and ideas held by the pre-service teachers for the concept of function were emerged.