Η αριθμητική γραμμή ως γεωμετρικό μοντέλο για τη διδασκαλία πρόσθεσης και αφαίρεσης ακέραιων : εφαρμογή σε μαθητές πρώτης και δεύτερης τάξης δημοτικού

Abstract

Η αριθμητική γραμμή ως διδακτικό μέσο είναι μια ευθεία με κλίμακα, που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση και εκτέλεση των αριθμητικών πράξεων των ακεραίων. Παρά το γεγονός ότι το γεωμετρικό μοντέλο της αριθμητικής γραμμής χρησιμοποιείται ευρέως ως βοηθητικό μέσο για την εκτέλεση πράξεων πρόσθεσης και αφαίρεσης ακέραιων αριθμών, ελάχιστες ερευνητικές εργασίες επιχειρούν να διερευνήσουν τους θεωρητικούς και εμπειρικούς λόγους, που δικαιολογούν τη χρήση της (Ernest, 1985: Fueyo, & Bushell, 1998). Επιπλέον, έχουν διατυπωθεί αμφιβολίες αναφορικά με την καταλληλότητα χρήσης της αριθμητικής γραμμής για τη διδασκαλία και την αξιολόγηση των πράξεων των ακεραίων. Με βάση τα αποτελέσματα της παρούσας ερευνητικής εργασίας έχει φανεί ότι δεν υπάρχει σχέση ανάμεσα στην ικανότητα των μαθητών πρώτης και δεύτερης τάξης δημοτικού να εκτελούν αριθμητικές πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης ακεραίων με τη χρήση της αριθμητικής γραμμής και στην ικανότητα να εκτελούν τις πράξεις αυτές, χωρίς τη χρήση της αριθμητικής γραμμής. Τόσο σε επίπεδο μαθητών πρώτης όσο και σε επίπεδο μαθητών δεύτερης τάξης δημοτικού, υπάρχει μια στεγανοποίηση, συνολικά, των έργων πρόσθεσης και αφαίρεσης, χωρίς τη χρήση της αριθμητικής γραμμής, σε σχέση με τα ίδια έργα με τη χρήση της αριθμητικής γραμμής. Μετά τη διδακτική παρέμβαση, σε μαθητές πρώτης τάξης δημοτικού, παύει να υπάρχει στεγανοποίηση στην πειραματική ομάδα σε σχέση με την ομάδα ελέγχου. Αυτό δείχνει ότι η συστηματική διδασκαλία χρήσης της αριθμητικής γραμμής βελτιώνει την ικανότητα χρήσης του γεωμετρικού μοντέλου της αριθμητικής γραμμής ως μέσου αναπαράστασης προσθέσεων και αφαιρέσεων ακεραίων. Η επίδοση τόσο των μαθητών πρώτης όσο και των μαθητών δεύτερης τάξης δημοτικού, σε έργα πρόσθεσης και αφαίρεσης ακεραίων με τη χρήση της αριθμητικής γραμμής, διαφοροποιείται ανάλογα με τη δυσκολία του έργου. Επιπρόσθετα, υπάρχει διαφοροποίηση στην επίδοση των μαθητών ανάλογα με την κατεύθυνση της μετάφρασης – από συμβολική αναπαράσταση σε αριθμητική γραμμή ή αντίστροφα. Η αριθμητική γραμμή λειτουργεί (α) ως βοηθητικό μέσο για την αναπαράσταση και επίλυση έργων πρόσθεσης και αφαίρεσης ακεραίων με άγνωστη την τελική ποσότητα ή το μετασχηματισμό, ενώ προκαλεί δυσκολίες για την αναπαράσταση και επίλυση έργων πρόσθεσης και αφαίρεσης με άγνωστη την αρχική ποσότητα, (β) ως μέσο εντοπισμού των τριών αντιλήψεων των μαθητών σε σχέση με την έννοια του αριθμού, (γ) ως μέσο εντοπισμού παρανοήσεων και (δ) ως μέσο ανίχνευσης της σκέψης του μαθητή. Η ηλικία αποτελεί παράγοντα που επηρεάζει τη σχέση ανάμεσα στην ικανότητα εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων πρόσθεσης και αφαίρεσης με τη χρήση της αριθμητικής γραμμής και στην ικανότητα εκτέλεσης των πράξεων αυτών χωρίς τη χρήση της αριθμητικής γραμμής. Κατά την επίλυση λεκτικού προβλήματος οι μαθητές πρώτης και δεύτερης τάξης δημοτικού δε χρησιμοποιούν την εικόνα ως βοηθητικό μέσο επίλυσης του προβλήματος. Η χρήση της εικόνας φαίνεται να προκαλεί επιπρόσθετες δυσκολίες στους μαθητές σε σχέση με την απλή διατύπωση της μαθηματικής πρότασης – συμβολική αναπαράσταση – ή τη χρήση της αριθμητικής γραμμής κατά την επίλυση του λεκτικού προβλήματος.

The number line, as a didactical means, is a straight line, which can be used for the representation of the arithmetic operations of integers. Despite the fact that the geometrical model of the number line is broadly used as a teaching aid for carrying out addition and subtraction of integers, few research papers attempt to investigate the theoretical and empirical reasons that justify its use (Ernest, 1985; Fueyo, & Bushell, 1998). Furthermore, a number of researchers view the number line with skepticism as far as the adequacy of its use is concerned for teaching and assessing the operations of integers. According to the results of the present research paper, it is obvious that there is no relation between the ability of first and second grade primary school children to curry out arithmetic operations of addition and subtraction of integers using the number line and their ability to carry out these operations without the use of the specific model. There is a compartmentalization of addition and subtraction tasks without the use of the number line and a compartmentalization of addition and subtraction tasks with the use of the number line. These results concern first as well as second grade primary school children. After the didactical intervention, in first graders, there is no compartmentalization in the experimental group when compared to the control group. This indicates that the systematical teaching of the use of the number line improves the ability to use the geometrical model of the number line as a means of representation of addition and subtraction of integers. First as well as second graders’ performance in addition and subtraction tasks of integers with the use of the number line variates according to the level of difficulty of the task. Moreover, there is differentiation in the pupils’ performance according to the direction of the translation – from the symbolic representation to the number line representation and vise-versa. The number line acts (a) as an aid for the representation and solving of addition and subtraction tasks of integers, where the final quantity or the transformation is unknown, while it causes difficulties for the representation and solving of addition and subtraction tasks where the initial quantity is unknown; (b) as a means of detecting the three conceptions of children as far as the concept of number is concerned; (c) as a means of detecting misconceptions and (d) as a means of mapping the way of thinking of the pupil. Age is a factor which affects the relation between the ability to carry out arithmetic operations of addition and subtraction with the use of the number line and the ability to carry out these operations without the use of the specific model. Finally, during problem solving first and second grade primary school children do not use picture as an aid. The use of a picture seems to cause additional difficulties when compared to the writing of the mathematical sentence – symbolic representation – or the use of the number line to solve the problem.