Topological and conventional quantum matter in strong magnetic and electric fields : ground state thermodynamic and transport considerations

Abstract

Η παρούσα διατριβή επικεντρώνεται στη μελέτη της θερμοδυναμικής ηλεκτρονικών συστημάτων (τοπολογικών ή συμβατικών) στην θεμελιώδη τους κατάσταση, όταν μερικές εξωτερικές παράμετροι μεταβάλλονται (π.χ. το πάχος μιας ετεροδομής, ή εξωτερικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία). Η συμπεριφορά αυτή, η οποία στην γενικότητά της αγνοεί τις αλληλεπιδράσεις, είναι μια υπόσχεση ότι η φυσική ενός ηλεκτρονίου (αρκετά επιτυχημένη σε παλαιότερα πειράματα σε διάφορες και διαφορετικές μεταξύ τους περιοχές) είναι ακόμα ένα σημαντικό αντικείμενο μελέτης, το οποίο πολλές φορές οδηγεί στην κατανόηση των τοπολογικών ιδιοτήτων ορισμένων υλικών. Στο Κεφάλαιο 2, συζητείται διεξοδικά η φυσική τύπου Berry (η οποία οδηγεί στην εύρεση του αριθμού Chern) με άμεση εφαρμογή της στο θεώρημα Hellmann-Feynman, που οδηγεί στην κβάντωση του μαγνητικού φορτίου στον 3D χώρο μέσα από ένα εικονικό μαγνητικό φορτίο που εμφανίζεται στον χώρο των παραμέτρων. Επιπρόσθετα, το κεφάλαιο αυτό αφορά και σε μη-ερμητιανές επιρροές στα θεωρήματα Hellmann-Feynman και Ehrenfest, που εξαρτώνται από τις εκάστοτε συνοριακές συνθήκες του προβλήματος και οδηγούν στη θεραπεία διαφόρων παραδόξων που απορρέουν από τα θεωρήματα αυτά. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται μια μελέτη που αφορά ηλεκτρονικά συστήματα τα οποία ζουν σε ετεροδομές (σε ορθογώνιες ή κυκλικές γεωμετρίες) και υποβάλλονται σε ισχυρά μαγνητικά πεδία με εύρεση των θερμοδυναμικών τους ιδιοτήτων σε συνάρτηση με μια μεταβαλλόμενη εξωτερική παράμετρο, αλλά και με προσδιορισμό των ιδιοτήτων μεταφοράς. Συγκεκριμένα, τα ηλεκτρόνια βρίσκονται στο εσωτερικό ετεροδομών πάχους d στην τρίτη διάσταση (στο τέλος, το όριο του άπειρου πάχους αναπαράγει τα αντίστοιχα αποτελέσματα στις 3 διαστάσεις). Μέσα από την εύρεση των θερμοδυναμικών ιδιοτήτων στη θεμελιώδη κατάσταση υπολογίζουμε ορισμένες παραβιάσεις από τις περιοδικότητες de Haas – van Alphen και τις τιμές του μαγνητικού πεδίου ή του πάχους όπου αυτές συμβαίνουν. Παρουσιάζεται επίσης μια πρώτη μελέτη τοπολογικών μονωτών σε σχέση με το πάχος τους. Στο Κεφάλαιο 4 η δουλειά μου επικεντρώνεται σε αλλαγές που υφίσταται η φάση της κυματοσυνάρτησης ηλεκτρονίου το οποίο κινείται στην παρουσία μαγνητικού πεδίου (ομογενούς αλλά και μη ομογενούς) σε 2 διαστάσεις (με ταυτόχρονη γενίκευση και σε 3 διαστάσεις). Δύο παλιές ποσότητες έρχονται στην επιφάνεια, μια παλιά και ‘ξεχασμένη’, η λεγόμενη ψευδοορμή (σε Καρτεσιανές συντεταγμένες) και μια ψευδοστροφορμή (σε πολικές συντεταγμένες). Πρώτα υπολογίζουμε τις μεταβολές της φάσης του ηλεκτρονίου όταν μεταβάλλεται η βαθμίδα διανυσματικού δυναμικού μέσω ενός συνήθους μετασχηματισμού βαθμίδας. Τόσο όμως πριν το μετασχηματισμό όσο και μετά, απαιτούμε η κυματοσυνάρτηση να ειναι ιδιοσυνάρτηση ταυτόχρονα της Χαμιλτονιανής και μιας συγκεκριμένης από τις συνιστώσες της ψευδοορμής (διορθώνοντας έτσι παλαιότερη βιβλιογραφία όπου ο μετασχηματισμός βαθμίδας με χρήση των συνηθισμένων κυματοσυναρτήσεων Landau ήταν πολύ πιο περίπλοκος). Στο τελευταίο Κεφάλαιο παρουσιάζεται μια επίσης πρωτότυπη δουλειά που αφορά Κβαντικά Συστήματα Hall, συμβατικά και μη (π.χ. Γραφίνη, με σχετικιστικό φάσμα Dirac), σε ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο. Συνέπεια αυτού του πεδίου είναι η αλληλεπικάλυψη των σταθμών Landau, η οποία βρίσκουμε ότι μπορεί να οδηγήσει υπό ορισμένες προυποθέσεις σε κλασματικούς παράγοντες κατάληψης ακόμα και χωρίς να ληφθούν υπόψιν οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ηλεκτρονίων (κάτι που γίνεται στο κλασματικό Κβαντικό Φαινόμενο Hall). Οι παράγοντες αυτοί εμφανίζονται ως συνέπεια της εξαφάνισης του ενεργειακού χάσματος λόγω του ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου.

This work focuses on the thermodynamic behavior of electronic systems (either topological or conventional) in their ground state, when some external parameters are varied, i.e. thickness of heterostructures or external electromagnetic fields. This behavior, which completely ignores interactions, is a promise that one-electron physics is still of great importance (quite successful in early experiments in various distinct areas) and quite often leads to topological properties. Starting my work, I review the field of topological insulators which is a milestone in physics today, and remind the reader that a topological insulator may be found from two distinct cases: the first one is that it is an emergent phenomenon resulting from conventional materials when placed in a magnetic field, or it is a pure phenomenon resulting from compounds with large spin-orbit coupling. These cases involve non-zero Chern number, which is the topological index analogous to well-known Euler characteristics in geometry. In Chapter 2, Berry physics (which directly leads to the Chern number) is thoroughly discussed, highlighting some new consequences on Hellmann – Feynman theorem, and the resulting quantization of real magnetic charge in 3-D space, through a fictitious magnetic charge that appears in the parameter space. In addition, we study some non-Hermitian influences on Hellmann – Feynman and Ehrenfest theorems that come out of boundary contributions, resulting in the correction of some paradoxes associated with these important theorems of Quantum Mechanics. Invariant operators seem to appear in the sink term of a generalization of a continuity equation which contains a generalized current, a nontrivial extension of the quantum probability current that cures all paradoxes. In Chapter 3 my theoretical work is presented, regarding electronic systems subjected to strong magnetic fields with thermodynamic and transport calculations with a simultaneous study of finite thickness effects on the energetics and on Hall properties. Specifically, I consider electronic systems that live in heterostructures of finite thickness d, whose ground state magnetic properties violate standard de-Haas van Alphen periodicities, with precise predictions on the critical magnetic field values where these violations occur. Also, both spin and interactions (through a Composite Fermions picture) are included in the calculations. A small part of Chapter 3 also examines properties and energy transitions that may occur in topological insulators by varying their thickness d. In Chapter 4, my work concentrates on quantum mechanical phase alterations in two dimensional systems that move under the influence of external magnetic fields, both homogenous and inhomogeneous. By using a forgotten conserved quantity, the so called pseudomomentum (introduced in Cartesian coordinates) and a pseudoangular momentum (in polar coordinates) we determine the nontrivial phase factors picked up by the wavefunction and we answer an old question in the literature regarding the correct gauge transformation in different gauge choices in the Landau Level problem. Last, but not least, in Chapter 5, a piece of also original work is presented regarding Quantum Hall systems (both conventional and unconventional e.g. Graphene with relativistic Dirac spectrum) in a very strong electric field with consequent inter-Landau Level overlaps, leading to emergent fractional filling factors without the introduction of interactions amongst electrons. The fractional filling factors appear as a consequence of energy gap elimination when the electric field becomes sufficiently strong. Plateaus formation, however, might be observable only upon inclusion of impurity potential which results in a further broadening of L.Ls.